Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106726 / 44311
↖ ↑ ↗
← N 50.248961°
E113.131714°		 ← 195.26 m → N 50.248961°
E113.134460°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
N 50.247205°
E113.131714°		 ← 195.27 m →
38 130 m²		 N 50.247205°
E113.134460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814258575439453 y=0.338069915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814258575439453 × 217)
    floor (0.814258575439453 × 131072)
    floor (106726.5)     		tx = 106726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338069915771484 × 217)
    floor (0.338069915771484 × 131072)
    floor (44311.5)     		ty = 44311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106726 / 44311 ti = "17/106726/44311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106726/44311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106726 ÷ 217
    106726 ÷ 131072     		x = 0.814254760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44311 ÷ 217
    44311 ÷ 131072     		y = 0.338066101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814254760742188 × 2 - 1) × π
    0.628509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.97452090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338066101074219 × 2 - 1) × π
    0.323867797851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.01746069443569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97452090} λ = 1.97452090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01746069443569))-π/2
    2×atan(2.76616170838697)-π/2
    2×1.22390307309307-π/2
    2.44780614618614-1.57079632675     		φ = 0.87700982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97452090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.131714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87700982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.248961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106726 KachelY 44311 1.97452090 0.87700982 113.131714 50.248961
    Oben rechts KachelX + 1 106727 KachelY 44311 1.97456883 0.87700982 113.134460 50.248961
    Unten links KachelX 106726 KachelY + 1 44312 1.97452090 0.87697917 113.131714 50.247205
    Unten rechts KachelX + 1 106727 KachelY + 1 44312 1.97456883 0.87697917 113.134460 50.247205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87700982-0.87697917) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87700982-0.87697917) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97452090-1.97456883) × cos(0.87700982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639452940306836 × 6371000     		do = 195.264647941684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97452090-1.97456883) × cos(0.87697917) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639476504653314 × 6371000     		du = 195.27184359836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87700982)-sin(0.87697917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639452940306836-0.639476504653314)×R²
    abs(1.97456883-1.97452090)×2.35643464779889e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35643464779889e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35643464779889e-05×40589641000000     		ar = 38130.2549129513m²