Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106720 / 45024
↖ ↑ ↗
← N 48.980217°
E113.115234°		 ← 200.46 m → N 48.980217°
E113.117981°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
N 48.978414°
E113.115234°		 ← 200.46 m →
40 179 m²		 N 48.978414°
E113.117981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814212799072266 y=0.343509674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814212799072266 × 217)
    floor (0.814212799072266 × 131072)
    floor (106720.5)     		tx = 106720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343509674072266 × 217)
    floor (0.343509674072266 × 131072)
    floor (45024.5)     		ty = 45024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106720 / 45024 ti = "17/106720/45024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106720/45024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106720 ÷ 217
    106720 ÷ 131072     		x = 0.814208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45024 ÷ 217
    45024 ÷ 131072     		y = 0.343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814208984375 × 2 - 1) × π
    0.62841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97423327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343505859375 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.983281685006592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97423327} λ = 1.97423327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983281685006592))-π/2
    2×atan(2.67321451110945)-π/2
    2×1.21283119075625-π/2
    2.4256623815125-1.57079632675     		φ = 0.85486605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97423327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.115234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85486605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.980217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106720 KachelY 45024 1.97423327 0.85486605 113.115234 48.980217
    Oben rechts KachelX + 1 106721 KachelY 45024 1.97428121 0.85486605 113.117981 48.980217
    Unten links KachelX 106720 KachelY + 1 45025 1.97423327 0.85483459 113.115234 48.978414
    Unten rechts KachelX + 1 106721 KachelY + 1 45025 1.97428121 0.85483459 113.117981 48.978414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85486605-0.85483459) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dl = 200.4316600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85486605-0.85483459) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dr = 200.4316600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97423327-1.97428121) × cos(0.85486605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65631957862558 × 6371000     		do = 200.456892978074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97423327-1.97428121) × cos(0.85483459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656343314336246 × 6371000     		du = 200.464142475069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85486605)-sin(0.85483459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65631957862558-0.656343314336246)×R²
    abs(1.97428121-1.97423327)×2.37357106658287e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37357106658287e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37357106658287e-05×40589641000000     		ar = 40178.6343358607m²