Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106719 / 45533
↖ ↑ ↗
← N 48.054218°
E113.112488°		 ← 204.11 m → N 48.054218°
E113.115234°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
N 48.052382°
E113.112488°		 ← 204.12 m →
41 666 m²		 N 48.052382°
E113.115234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814205169677734 y=0.347393035888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814205169677734 × 217)
    floor (0.814205169677734 × 131072)
    floor (106719.5)     		tx = 106719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347393035888672 × 217)
    floor (0.347393035888672 × 131072)
    floor (45533.5)     		ty = 45533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106719 / 45533 ti = "17/106719/45533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106719/45533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106719 ÷ 217
    106719 ÷ 131072     		x = 0.814201354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45533 ÷ 217
    45533 ÷ 131072     		y = 0.347389221191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814201354980469 × 2 - 1) × π
    0.628402709960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.97418534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347389221191406 × 2 - 1) × π
    0.305221557617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.958881803099983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97418534} λ = 1.97418534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958881803099983))-π/2
    2×atan(2.60877771470036)-π/2
    2×1.20475032436135-π/2
    2.4095006487227-1.57079632675     		φ = 0.83870432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97418534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.112488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83870432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.054218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106719 KachelY 45533 1.97418534 0.83870432 113.112488 48.054218
    Oben rechts KachelX + 1 106720 KachelY 45533 1.97423327 0.83870432 113.115234 48.054218
    Unten links KachelX 106719 KachelY + 1 45534 1.97418534 0.83867228 113.112488 48.052382
    Unten rechts KachelX + 1 106720 KachelY + 1 45534 1.97423327 0.83867228 113.115234 48.052382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83870432-0.83867228) × R
    3.20399999998999e-05 × 6371000     		dl = 204.126839999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83870432-0.83867228) × R
    3.20399999998999e-05 × 6371000     		dr = 204.126839999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97418534-1.97423327) × cos(0.83870432) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.668427084505271 × 6371000     		do = 204.112251431636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97418534-1.97423327) × cos(0.83867228) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.668450914798945 × 6371000     		du = 204.119528298488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83870432)-sin(0.83867228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668427084505271-0.668450914798945)×R²
    abs(1.97423327-1.97418534)×2.3830293673921e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3830293673921e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3830293673921e-05×40589641000000     		ar = 41665.5315954894m²