Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106717 / 45532
↖ ↑ ↗
← N 48.056054°
E113.106994°		 ← 204.15 m → N 48.056054°
E113.109741°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
N 48.054218°
E113.106994°		 ← 204.15 m →
41 673 m²		 N 48.054218°
E113.109741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814189910888672 y=0.347385406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814189910888672 × 217)
    floor (0.814189910888672 × 131072)
    floor (106717.5)     		tx = 106717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347385406494141 × 217)
    floor (0.347385406494141 × 131072)
    floor (45532.5)     		ty = 45532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106717 / 45532 ti = "17/106717/45532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106717/45532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106717 ÷ 217
    106717 ÷ 131072     		x = 0.814186096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45532 ÷ 217
    45532 ÷ 131072     		y = 0.347381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814186096191406 × 2 - 1) × π
    0.628372192382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.97408946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347381591796875 × 2 - 1) × π
    0.30523681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.958929739999603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97408946} λ = 1.97408946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958929739999603))-π/2
    2×atan(2.60890277441326)-π/2
    2×1.20476634523673-π/2
    2.40953269047346-1.57079632675     		φ = 0.83873636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97408946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.106994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83873636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.056054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106717 KachelY 45532 1.97408946 0.83873636 113.106994 48.056054
    Oben rechts KachelX + 1 106718 KachelY 45532 1.97413740 0.83873636 113.109741 48.056054
    Unten links KachelX 106717 KachelY + 1 45533 1.97408946 0.83870432 113.106994 48.054218
    Unten rechts KachelX + 1 106718 KachelY + 1 45533 1.97413740 0.83870432 113.109741 48.054218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83873636-0.83870432) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dl = 204.12684000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83873636-0.83870432) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dr = 204.12684000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97408946-1.97413740) × cos(0.83873636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668403253525416 × 6371000     		do = 204.147558326274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97408946-1.97413740) × cos(0.83870432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668427084505271 × 6371000     		du = 204.154836920931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83873636)-sin(0.83870432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668403253525416-0.668427084505271)×R²
    abs(1.97413740-1.97408946)×2.3830979855588e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3830979855588e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3830979855588e-05×40589641000000     		ar = 41672.7388567312m²