Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106715 / 45025
↖ ↑ ↗
← N 48.978414°
E113.101501°		 ← 200.46 m → N 48.978414°
E113.104248°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
N 48.976612°
E113.101501°		 ← 200.47 m →
40 180 m²		 N 48.976612°
E113.104248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814174652099609 y=0.343517303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814174652099609 × 217)
    floor (0.814174652099609 × 131072)
    floor (106715.5)     		tx = 106715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343517303466797 × 217)
    floor (0.343517303466797 × 131072)
    floor (45025.5)     		ty = 45025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106715 / 45025 ti = "17/106715/45025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106715/45025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106715 ÷ 217
    106715 ÷ 131072     		x = 0.814170837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45025 ÷ 217
    45025 ÷ 131072     		y = 0.343513488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814170837402344 × 2 - 1) × π
    0.628341674804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.97399359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343513488769531 × 2 - 1) × π
    0.312973022460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.983233748106972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97399359} λ = 1.97399359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983233748106972))-π/2
    2×atan(2.67308636856517)-π/2
    2×1.21281545950898-π/2
    2.42563091901796-1.57079632675     		φ = 0.85483459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97399359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.101501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85483459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.978414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106715 KachelY 45025 1.97399359 0.85483459 113.101501 48.978414
    Oben rechts KachelX + 1 106716 KachelY 45025 1.97404153 0.85483459 113.104248 48.978414
    Unten links KachelX 106715 KachelY + 1 45026 1.97399359 0.85480313 113.101501 48.976612
    Unten rechts KachelX + 1 106716 KachelY + 1 45026 1.97404153 0.85480313 113.104248 48.976612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85483459-0.85480313) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dl = 200.431659999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85483459-0.85480313) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dr = 200.431659999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97399359-1.97404153) × cos(0.85483459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656343314336246 × 6371000     		do = 200.464142475069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97399359-1.97404153) × cos(0.85480313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656367049397308 × 6371000     		du = 200.471391773658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85483459)-sin(0.85480313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656343314336246-0.656367049397308)×R²
    abs(1.97404153-1.97399359)×2.37350610621245e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37350610621245e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37350610621245e-05×40589641000000     		ar = 40180.0873444895m²