Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106713 / 45037
↖ ↑ ↗
← N 48.956777°
E113.096009°		 ← 200.51 m → N 48.956777°
E113.098755°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
N 48.954974°
E113.096009°		 ← 200.52 m →
40 202 m²		 N 48.954974°
E113.098755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814159393310547 y=0.343608856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814159393310547 × 217)
    floor (0.814159393310547 × 131072)
    floor (106713.5)     		tx = 106713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343608856201172 × 217)
    floor (0.343608856201172 × 131072)
    floor (45037.5)     		ty = 45037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106713 / 45037 ti = "17/106713/45037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106713/45037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106713 ÷ 217
    106713 ÷ 131072     		x = 0.814155578613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45037 ÷ 217
    45037 ÷ 131072     		y = 0.343605041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814155578613281 × 2 - 1) × π
    0.628311157226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.97389772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343605041503906 × 2 - 1) × π
    0.312789916992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.982658505311531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97389772} λ = 1.97389772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982658505311531))-π/2
    2×atan(2.67154913707313)-π/2
    2×1.21262664016175-π/2
    2.4252532803235-1.57079632675     		φ = 0.85445695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97389772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.096009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85445695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.956777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106713 KachelY 45037 1.97389772 0.85445695 113.096009 48.956777
    Oben rechts KachelX + 1 106714 KachelY 45037 1.97394565 0.85445695 113.098755 48.956777
    Unten links KachelX 106713 KachelY + 1 45038 1.97389772 0.85442548 113.096009 48.954974
    Unten rechts KachelX + 1 106714 KachelY + 1 45038 1.97394565 0.85442548 113.098755 48.954974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85445695-0.85442548) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dl = 200.495370000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85445695-0.85442548) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dr = 200.495370000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97389772-1.97394565) × cos(0.85445695) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656628182694166 × 6371000     		do = 200.509314822824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97389772-1.97394565) × cos(0.85442548) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65665191749761 × 6371000     		du = 200.516562530585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85445695)-sin(0.85442548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656628182694166-0.65665191749761)×R²
    abs(1.97394565-1.97389772)×2.37348034441975e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37348034441975e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37348034441975e-05×40589641000000     		ar = 40201.9158331443m²