Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10671 / 6543
↖ ↑ ↗
← N 80.747376°
W121.382446°		 ← 98.21 m → N 80.747376°
W121.376953°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
N 80.746492°
W121.382446°		 ← 98.22 m →
9 648 m²		 N 80.746492°
W121.376953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162834167480469 y=0.0998458862304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162834167480469 × 216)
    floor (0.162834167480469 × 65536)
    floor (10671.5)     		tx = 10671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0998458862304688 × 216)
    floor (0.0998458862304688 × 65536)
    floor (6543.5)     		ty = 6543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10671 / 6543 ti = "16/10671/6543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10671/6543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10671 ÷ 216
    10671 ÷ 65536     		x = 0.162826538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6543 ÷ 216
    6543 ÷ 65536     		y = 0.0998382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162826538085938 × 2 - 1) × π
    -0.674346923828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11852334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0998382568359375 × 2 - 1) × π
    0.800323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51429038507195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11852334} λ = -2.11852334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51429038507195))-π/2
    2×atan(12.3578363618004)-π/2
    2×1.49005194668516-π/2
    2.98010389337032-1.57079632675     		φ = 1.40930757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11852334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.382446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40930757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.747376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10671 KachelY 6543 -2.11852334 1.40930757 -121.382446 80.747376
    Oben rechts KachelX + 1 10672 KachelY 6543 -2.11842747 1.40930757 -121.376953 80.747376
    Unten links KachelX 10671 KachelY + 1 6544 -2.11852334 1.40929215 -121.382446 80.746492
    Unten rechts KachelX + 1 10672 KachelY + 1 6544 -2.11842747 1.40929215 -121.376953 80.746492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40930757-1.40929215) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dl = 98.240819999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40930757-1.40929215) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dr = 98.240819999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11852334--2.11842747) × cos(1.40930757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160787770841409 × 6371000     		do = 98.2072039954928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11852334--2.11842747) × cos(1.40929215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160802990192724 × 6371000     		du = 98.2164997891436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40930757)-sin(1.40929215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160787770841409-0.160802990192724)×R²
    abs(-2.11842747--2.11852334)×1.52193513153764e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52193513153764e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52193513153764e-05×40589641000000     		ar = 9648.41286377476m²