Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10671 / 12118
↖ ↑ ↗
← S 64.979359°
E 54.470215°		 ← 1 033.37 m → S 64.979359°
E 54.492188°		 →
↑
1 033.19 m
↓
↑
1 033.19 m
↓
S 64.988651°
E 54.470215°		 ← 1 033.01 m →
1 067 479 m²		 S 64.988651°
E 54.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651336669921875 y=0.739654541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651336669921875 × 214)
    floor (0.651336669921875 × 16384)
    floor (10671.5)     		tx = 10671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739654541015625 × 214)
    floor (0.739654541015625 × 16384)
    floor (12118.5)     		ty = 12118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10671 / 12118 ti = "14/10671/12118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10671/12118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10671 ÷ 214
    10671 ÷ 16384     		x = 0.65130615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12118 ÷ 214
    12118 ÷ 16384     		y = 0.7396240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65130615234375 × 2 - 1) × π
    0.3026123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95068459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.479248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50560214326672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95068459} λ = 0.95068459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50560214326672))-π/2
    2×atan(0.221883647854423)-π/2
    2×0.218346281294328-π/2
    0.436692562588656-1.57079632675     		φ = -1.13410376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95068459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13410376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.979359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10671 KachelY 12118 0.95068459 -1.13410376 54.470215 -64.979359
    Oben rechts KachelX + 1 10672 KachelY 12118 0.95106809 -1.13410376 54.492188 -64.979359
    Unten links KachelX 10671 KachelY + 1 12119 0.95068459 -1.13426593 54.470215 -64.988651
    Unten rechts KachelX + 1 10672 KachelY + 1 12119 0.95106809 -1.13426593 54.492188 -64.988651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13410376--1.13426593) × R
    0.000162170000000073 × 6371000     		dl = 1033.18507000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13410376--1.13426593) × R
    0.000162170000000073 × 6371000     		dr = 1033.18507000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95068459-0.95106809) × cos(-1.13410376) × R
    0.000383499999999981 × 0.422944735130256 × 6371000     		do = 1033.3717780319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95068459-0.95106809) × cos(-1.13426593) × R
    0.000383499999999981 × 0.422797778335434 × 6371000     		du = 1033.01272165468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13410376)-sin(-1.13426593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422944735130256-0.422797778335434)×R²
    abs(0.95106809-0.95068459)×0.000146956794822128×R²
    0.000383499999999981×0.000146956794822128×6371000²
    0.000383499999999981×0.000146956794822128×40589641000000     		ar = 1067478.80931792m²