Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106705 / 44501
↖ ↑ ↗
← N 49.914093°
E113.074036°		 ← 196.67 m → N 49.914093°
E113.076782°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 49.912325°
E113.074036°		 ← 196.68 m →
38 681 m²		 N 49.912325°
E113.076782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814098358154297 y=0.339519500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814098358154297 × 217)
    floor (0.814098358154297 × 131072)
    floor (106705.5)     		tx = 106705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339519500732422 × 217)
    floor (0.339519500732422 × 131072)
    floor (44501.5)     		ty = 44501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106705 / 44501 ti = "17/106705/44501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106705/44501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106705 ÷ 217
    106705 ÷ 131072     		x = 0.814094543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44501 ÷ 217
    44501 ÷ 131072     		y = 0.339515686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814094543457031 × 2 - 1) × π
    0.628189086914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.97351422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339515686035156 × 2 - 1) × π
    0.320968627929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.00835268350788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97351422} λ = 1.97351422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00835268350788))-π/2
    2×atan(2.74108186444169)-π/2
    2×1.22098079776062-π/2
    2.44196159552124-1.57079632675     		φ = 0.87116527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97351422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.074036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87116527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.914093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106705 KachelY 44501 1.97351422 0.87116527 113.074036 49.914093
    Oben rechts KachelX + 1 106706 KachelY 44501 1.97356216 0.87116527 113.076782 49.914093
    Unten links KachelX 106705 KachelY + 1 44502 1.97351422 0.87113440 113.074036 49.912325
    Unten rechts KachelX + 1 106706 KachelY + 1 44502 1.97356216 0.87113440 113.076782 49.912325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87116527-0.87113440) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87116527-0.87113440) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97351422-1.97356216) × cos(0.87116527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643935460070956 × 6371000     		do = 196.674464404283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97351422-1.97356216) × cos(0.87113440) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643959077778019 × 6371000     		du = 196.68167785994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87116527)-sin(0.87113440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643935460070956-0.643959077778019)×R²
    abs(1.97356216-1.97351422)×2.36177070628285e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36177070628285e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36177070628285e-05×40589641000000     		ar = 38681.2210509795m²