Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106705 / 44500
↖ ↑ ↗
← N 49.915862°
E113.074036°		 ← 196.67 m → N 49.915862°
E113.076782°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 49.914093°
E113.074036°		 ← 196.67 m →
38 680 m²		 N 49.914093°
E113.076782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814098358154297 y=0.339511871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814098358154297 × 217)
    floor (0.814098358154297 × 131072)
    floor (106705.5)     		tx = 106705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339511871337891 × 217)
    floor (0.339511871337891 × 131072)
    floor (44500.5)     		ty = 44500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106705 / 44500 ti = "17/106705/44500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106705/44500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106705 ÷ 217
    106705 ÷ 131072     		x = 0.814094543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44500 ÷ 217
    44500 ÷ 131072     		y = 0.339508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814094543457031 × 2 - 1) × π
    0.628189086914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.97351422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339508056640625 × 2 - 1) × π
    0.32098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0084006204075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97351422} λ = 1.97351422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0084006204075))-π/2
    2×atan(2.74121326655735)-π/2
    2×1.22099623161237-π/2
    2.44199246322475-1.57079632675     		φ = 0.87119614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97351422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.074036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87119614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.915862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106705 KachelY 44500 1.97351422 0.87119614 113.074036 49.915862
    Oben rechts KachelX + 1 106706 KachelY 44500 1.97356216 0.87119614 113.076782 49.915862
    Unten links KachelX 106705 KachelY + 1 44501 1.97351422 0.87116527 113.074036 49.914093
    Unten rechts KachelX + 1 106706 KachelY + 1 44501 1.97356216 0.87116527 113.076782 49.914093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87119614-0.87116527) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87119614-0.87116527) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97351422-1.97356216) × cos(0.87119614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643911841750251 × 6371000     		do = 196.667250761204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97351422-1.97356216) × cos(0.87116527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643935460070956 × 6371000     		du = 196.674464404283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87119614)-sin(0.87116527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643911841750251-0.643935460070956)×R²
    abs(1.97356216-1.97351422)×2.36183207055207e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36183207055207e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36183207055207e-05×40589641000000     		ar = 38679.8023421765m²