Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106704 / 44502
↖ ↑ ↗
← N 49.912325°
E113.071289°		 ← 196.68 m → N 49.912325°
E113.074036°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 49.910556°
E113.071289°		 ← 196.69 m →
38 683 m²		 N 49.910556°
E113.074036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814090728759766 y=0.339527130126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814090728759766 × 217)
    floor (0.814090728759766 × 131072)
    floor (106704.5)     		tx = 106704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339527130126953 × 217)
    floor (0.339527130126953 × 131072)
    floor (44502.5)     		ty = 44502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106704 / 44502 ti = "17/106704/44502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106704/44502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106704 ÷ 217
    106704 ÷ 131072     		x = 0.8140869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44502 ÷ 217
    44502 ÷ 131072     		y = 0.339523315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8140869140625 × 2 - 1) × π
    0.628173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.97346628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339523315429688 × 2 - 1) × π
    0.320953369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00830474660826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97346628} λ = 1.97346628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00830474660826))-π/2
    2×atan(2.74095046862488)-π/2
    2×1.22096536334281-π/2
    2.44193072668563-1.57079632675     		φ = 0.87113440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97346628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87113440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.912325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106704 KachelY 44502 1.97346628 0.87113440 113.071289 49.912325
    Oben rechts KachelX + 1 106705 KachelY 44502 1.97351422 0.87113440 113.074036 49.912325
    Unten links KachelX 106704 KachelY + 1 44503 1.97346628 0.87110353 113.071289 49.910556
    Unten rechts KachelX + 1 106705 KachelY + 1 44503 1.97351422 0.87110353 113.074036 49.910556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87113440-0.87110353) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87113440-0.87110353) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97346628-1.97351422) × cos(0.87113440) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643959077778019 × 6371000     		do = 196.68167785994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97346628-1.97351422) × cos(0.87110353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643982694871416 × 6371000     		du = 196.688891128168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87113440)-sin(0.87110353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643959077778019-0.643982694871416)×R²
    abs(1.97351422-1.97346628)×2.36170933974877e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36170933974877e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36170933974877e-05×40589641000000     		ar = 38682.6397226246m²