Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106703 / 44500
↖ ↑ ↗
← N 49.915862°
E113.068543°		 ← 196.63 m → N 49.915862°
E113.071289°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 49.914093°
E113.068543°		 ← 196.63 m →
38 672 m²		 N 49.914093°
E113.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814083099365234 y=0.339511871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814083099365234 × 217)
    floor (0.814083099365234 × 131072)
    floor (106703.5)     		tx = 106703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339511871337891 × 217)
    floor (0.339511871337891 × 131072)
    floor (44500.5)     		ty = 44500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106703 / 44500 ti = "17/106703/44500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106703/44500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106703 ÷ 217
    106703 ÷ 131072     		x = 0.814079284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44500 ÷ 217
    44500 ÷ 131072     		y = 0.339508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814079284667969 × 2 - 1) × π
    0.628158569335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.97341835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339508056640625 × 2 - 1) × π
    0.32098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0084006204075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97341835} λ = 1.97341835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0084006204075))-π/2
    2×atan(2.74121326655735)-π/2
    2×1.22099623161237-π/2
    2.44199246322475-1.57079632675     		φ = 0.87119614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97341835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.068543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87119614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.915862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106703 KachelY 44500 1.97341835 0.87119614 113.068543 49.915862
    Oben rechts KachelX + 1 106704 KachelY 44500 1.97346628 0.87119614 113.071289 49.915862
    Unten links KachelX 106703 KachelY + 1 44501 1.97341835 0.87116527 113.068543 49.914093
    Unten rechts KachelX + 1 106704 KachelY + 1 44501 1.97346628 0.87116527 113.071289 49.914093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87119614-0.87116527) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87119614-0.87116527) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97341835-1.97346628) × cos(0.87119614) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.643911841750251 × 6371000     		do = 196.626227138016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97341835-1.97346628) × cos(0.87116527) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.643935460070956 × 6371000     		du = 196.633439276371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87119614)-sin(0.87116527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643911841750251-0.643935460070956)×R²
    abs(1.97346628-1.97341835)×2.36183207055207e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36183207055207e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36183207055207e-05×40589641000000     		ar = 38671.7339645989m²