Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106700 / 44318
↖ ↑ ↗
← N 50.236666°
E113.060303°		 ← 195.32 m → N 50.236666°
E113.063049°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
N 50.234909°
E113.060303°		 ← 195.32 m →
38 153 m²		 N 50.234909°
E113.063049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814060211181641 y=0.338123321533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814060211181641 × 217)
    floor (0.814060211181641 × 131072)
    floor (106700.5)     		tx = 106700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338123321533203 × 217)
    floor (0.338123321533203 × 131072)
    floor (44318.5)     		ty = 44318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106700 / 44318 ti = "17/106700/44318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106700/44318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106700 ÷ 217
    106700 ÷ 131072     		x = 0.814056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44318 ÷ 217
    44318 ÷ 131072     		y = 0.338119506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814056396484375 × 2 - 1) × π
    0.62811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97327454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338119506835938 × 2 - 1) × π
    0.323760986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01712513613835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97327454} λ = 1.97327454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01712513613835))-π/2
    2×atan(2.76523365559055)-π/2
    2×1.22379577238336-π/2
    2.44759154476672-1.57079632675     		φ = 0.87679522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97327454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.060303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87679522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.236666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106700 KachelY 44318 1.97327454 0.87679522 113.060303 50.236666
    Oben rechts KachelX + 1 106701 KachelY 44318 1.97332247 0.87679522 113.063049 50.236666
    Unten links KachelX 106700 KachelY + 1 44319 1.97327454 0.87676456 113.060303 50.234909
    Unten rechts KachelX + 1 106701 KachelY + 1 44319 1.97332247 0.87676456 113.063049 50.234909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87679522-0.87676456) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dl = 195.334859999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87679522-0.87676456) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dr = 195.334859999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97327454-1.97332247) × cos(0.87679522) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639617916550547 × 6371000     		do = 195.315025422365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97327454-1.97332247) × cos(0.87676456) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639641484377143 × 6371000     		du = 195.322222141737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87679522)-sin(0.87676456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639617916550547-0.639641484377143)×R²
    abs(1.97332247-1.97327454)×2.35678265964046e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35678265964046e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35678265964046e-05×40589641000000     		ar = 38152.5360348142m²