Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1067 / 669
↖ ↑ ↗
← N 76.247817°
W 86.220703°		 ← 2 323.26 m → N 76.247817°
W 86.132812°		 →
↑
2 325.03 m
↓
↑
2 325.03 m
↓
N 76.226907°
W 86.220703°		 ← 2 326.73 m →
5 405 689 m²		 N 76.226907°
W 86.132812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2606201171875 y=0.1634521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2606201171875 × 212)
    floor (0.2606201171875 × 4096)
    floor (1067.5)     		tx = 1067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1634521484375 × 212)
    floor (0.1634521484375 × 4096)
    floor (669.5)     		ty = 669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1067 / 669 ti = "12/1067/669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1067/669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1067 ÷ 212
    1067 ÷ 4096     		x = 0.260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 669 ÷ 212
    669 ÷ 4096     		y = 0.163330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.47900390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.50483515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163330078125 × 2 - 1) × π
    0.67333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11535950643384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50483515} λ = -1.50483515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11535950643384))-π/2
    2×atan(8.29256646129344)-π/2
    2×1.45078588690492-π/2
    2.90157177380983-1.57079632675     		φ = 1.33077545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50483515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.220703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33077545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.247817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1067 KachelY 669 -1.50483515 1.33077545 -86.220703 76.247817
    Oben rechts KachelX + 1 1068 KachelY 669 -1.50330117 1.33077545 -86.132812 76.247817
    Unten links KachelX 1067 KachelY + 1 670 -1.50483515 1.33041051 -86.220703 76.226907
    Unten rechts KachelX + 1 1068 KachelY + 1 670 -1.50330117 1.33041051 -86.132812 76.226907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33077545-1.33041051) × R
    0.000364939999999869 × 6371000     		dl = 2325.03273999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33077545-1.33041051) × R
    0.000364939999999869 × 6371000     		dr = 2325.03273999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50483515--1.50330117) × cos(1.33077545) × R
    0.00153397999999982 × 0.237722904799009 × 6371000     		do = 2323.26275835907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50483515--1.50330117) × cos(1.33041051) × R
    0.00153397999999982 × 0.238077367230491 × 6371000     		du = 2326.72691494506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33077545)-sin(1.33041051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237722904799009-0.238077367230491)×R²
    abs(-1.50330117--1.50483515)×0.000354462431482266×R²
    0.00153397999999982×0.000354462431482266×6371000²
    0.00153397999999982×0.000354462431482266×40589641000000     		ar = 5405689.1755368m²