Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106690 / 44333
↖ ↑ ↗
← N 50.210307°
E113.032837°		 ← 195.42 m → N 50.210307°
E113.035583°		 →
↑
195.46 m
↓
↑
195.46 m
↓
N 50.208549°
E113.032837°		 ← 195.43 m →
38 199 m²		 N 50.208549°
E113.035583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813983917236328 y=0.338237762451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813983917236328 × 217)
    floor (0.813983917236328 × 131072)
    floor (106690.5)     		tx = 106690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338237762451172 × 217)
    floor (0.338237762451172 × 131072)
    floor (44333.5)     		ty = 44333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106690 / 44333 ti = "17/106690/44333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106690/44333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106690 ÷ 217
    106690 ÷ 131072     		x = 0.813980102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44333 ÷ 217
    44333 ÷ 131072     		y = 0.338233947753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813980102539062 × 2 - 1) × π
    0.627960205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.97279517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338233947753906 × 2 - 1) × π
    0.323532104492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.01640608264405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97279517} λ = 1.97279517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01640608264405))-π/2
    2×atan(2.76324601936197)-π/2
    2×1.22356574907726-π/2
    2.44713149815452-1.57079632675     		φ = 0.87633517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97279517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.032837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87633517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.210307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106690 KachelY 44333 1.97279517 0.87633517 113.032837 50.210307
    Oben rechts KachelX + 1 106691 KachelY 44333 1.97284310 0.87633517 113.035583 50.210307
    Unten links KachelX 106690 KachelY + 1 44334 1.97279517 0.87630449 113.032837 50.208549
    Unten rechts KachelX + 1 106691 KachelY + 1 44334 1.97284310 0.87630449 113.035583 50.208549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87633517-0.87630449) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dl = 195.462280000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87633517-0.87630449) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dr = 195.462280000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97279517-1.97284310) × cos(0.87633517) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639971486064215 × 6371000     		do = 195.422992126805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97279517-1.97284310) × cos(0.87630449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639995060233836 × 6371000     		du = 195.430190783096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87633517)-sin(0.87630449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639971486064215-0.639995060233836)×R²
    abs(1.97284310-1.97279517)×2.35741696213987e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35741696213987e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35741696213987e-05×40589641000000     		ar = 38198.5271414182m²