Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106688 / 44997
↖ ↑ ↗
← N 49.028864°
E113.027344°		 ← 200.26 m → N 49.028864°
E113.030090°		 →
↑
200.24 m
↓
↑
200.24 m
↓
N 49.027063°
E113.027344°		 ← 200.27 m →
40 101 m²		 N 49.027063°
E113.030090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813968658447266 y=0.343303680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813968658447266 × 217)
    floor (0.813968658447266 × 131072)
    floor (106688.5)     		tx = 106688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343303680419922 × 217)
    floor (0.343303680419922 × 131072)
    floor (44997.5)     		ty = 44997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106688 / 44997 ti = "17/106688/44997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106688/44997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106688 ÷ 217
    106688 ÷ 131072     		x = 0.81396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44997 ÷ 217
    44997 ÷ 131072     		y = 0.343299865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81396484375 × 2 - 1) × π
    0.6279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97269929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343299865722656 × 2 - 1) × π
    0.313400268554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.984575981296333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97269929} λ = 1.97269929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984575981296333))-π/2
    2×atan(2.67667668278752)-π/2
    2×1.2132557193856-π/2
    2.42651143877119-1.57079632675     		φ = 0.85571511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97269929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85571511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.028864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106688 KachelY 44997 1.97269929 0.85571511 113.027344 49.028864
    Oben rechts KachelX + 1 106689 KachelY 44997 1.97274723 0.85571511 113.030090 49.028864
    Unten links KachelX 106688 KachelY + 1 44998 1.97269929 0.85568368 113.027344 49.027063
    Unten rechts KachelX + 1 106689 KachelY + 1 44998 1.97274723 0.85568368 113.030090 49.027063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85571511-0.85568368) × R
    3.14300000000545e-05 × 6371000     		dl = 200.240530000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85571511-0.85568368) × R
    3.14300000000545e-05 × 6371000     		dr = 200.240530000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97269929-1.97274723) × cos(0.85571511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655678740787691 × 6371000     		do = 200.261164607217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97269929-1.97274723) × cos(0.85568368) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655702471370768 × 6371000     		du = 200.268412538114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85571511)-sin(0.85568368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655678740787691-0.655702471370768)×R²
    abs(1.97274723-1.97269929)×2.37305830769197e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37305830769197e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37305830769197e-05×40589641000000     		ar = 40101.1274074853m²