Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106687 / 44513
↖ ↑ ↗
← N 49.892865°
E113.024597°		 ← 196.72 m → N 49.892865°
E113.027344°		 →
↑
196.74 m
↓
↑
196.74 m
↓
N 49.891096°
E113.024597°		 ← 196.73 m →
38 703 m²		 N 49.891096°
E113.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813961029052734 y=0.339611053466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813961029052734 × 217)
    floor (0.813961029052734 × 131072)
    floor (106687.5)     		tx = 106687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339611053466797 × 217)
    floor (0.339611053466797 × 131072)
    floor (44513.5)     		ty = 44513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106687 / 44513 ti = "17/106687/44513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106687/44513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106687 ÷ 217
    106687 ÷ 131072     		x = 0.813957214355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44513 ÷ 217
    44513 ÷ 131072     		y = 0.339607238769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813957214355469 × 2 - 1) × π
    0.627914428710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.97265136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339607238769531 × 2 - 1) × π
    0.320785522460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.00777744071244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97265136} λ = 1.97265136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00777744071244))-π/2
    2×atan(2.73950553027836)-π/2
    2×1.22079554738554-π/2
    2.44159109477108-1.57079632675     		φ = 0.87079477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97265136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.024597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87079477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.892865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106687 KachelY 44513 1.97265136 0.87079477 113.024597 49.892865
    Oben rechts KachelX + 1 106688 KachelY 44513 1.97269929 0.87079477 113.027344 49.892865
    Unten links KachelX 106687 KachelY + 1 44514 1.97265136 0.87076389 113.024597 49.891096
    Unten rechts KachelX + 1 106688 KachelY + 1 44514 1.97269929 0.87076389 113.027344 49.891096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87079477-0.87076389) × R
    3.08800000000664e-05 × 6371000     		dl = 196.736480000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87079477-0.87076389) × R
    3.08800000000664e-05 × 6371000     		dr = 196.736480000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97265136-1.97269929) × cos(0.87079477) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.644218877939324 × 6371000     		do = 196.719984331995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97265136-1.97269929) × cos(0.87076389) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.644242495927938 × 6371000     		du = 196.727196368942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87079477)-sin(0.87076389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644218877939324-0.644242495927938)×R²
    abs(1.97269929-1.97265136)×2.36179886142773e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36179886142773e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36179886142773e-05×40589641000000     		ar = 38702.7067016366m²