Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106670 / 45107
↖ ↑ ↗
← N 48.830373°
E112.977905°		 ← 201.06 m → N 48.830373°
E112.980652°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
N 48.828566°
E112.977905°		 ← 201.07 m →
40 415 m²		 N 48.828566°
E112.980652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813831329345703 y=0.344142913818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813831329345703 × 217)
    floor (0.813831329345703 × 131072)
    floor (106670.5)     		tx = 106670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344142913818359 × 217)
    floor (0.344142913818359 × 131072)
    floor (45107.5)     		ty = 45107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106670 / 45107 ti = "17/106670/45107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106670/45107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106670 ÷ 217
    106670 ÷ 131072     		x = 0.813827514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45107 ÷ 217
    45107 ÷ 131072     		y = 0.344139099121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813827514648438 × 2 - 1) × π
    0.627655029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97183643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344139099121094 × 2 - 1) × π
    0.311721801757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.979302922338127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97183643} λ = 1.97183643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979302922338127))-π/2
    2×atan(2.66259955620439)-π/2
    2×1.21152356062032-π/2
    2.42304712124063-1.57079632675     		φ = 0.85225079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97183643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.977905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85225079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.830373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106670 KachelY 45107 1.97183643 0.85225079 112.977905 48.830373
    Oben rechts KachelX + 1 106671 KachelY 45107 1.97188437 0.85225079 112.980652 48.830373
    Unten links KachelX 106670 KachelY + 1 45108 1.97183643 0.85221924 112.977905 48.828566
    Unten rechts KachelX + 1 106671 KachelY + 1 45108 1.97188437 0.85221924 112.980652 48.828566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85225079-0.85221924) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dl = 201.005049999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85225079-0.85221924) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dr = 201.005049999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97183643-1.97188437) × cos(0.85225079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6582905011347 × 6371000     		do = 201.058863443905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97183643-1.97188437) × cos(0.85221924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658314250510769 × 6371000     		du = 201.066117114665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85225079)-sin(0.85221924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6582905011347-0.658314250510769)×R²
    abs(1.97188437-1.97183643)×2.37493760698593e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37493760698593e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37493760698593e-05×40589641000000     		ar = 40414.5759149646m²