Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106668 / 44887
↖ ↑ ↗
← N 49.226566°
E112.972412°		 ← 199.42 m → N 49.226566°
E112.975159°		 →
↑
199.41 m
↓
↑
199.41 m
↓
N 49.224773°
E112.972412°		 ← 199.43 m →
39 768 m²		 N 49.224773°
E112.975159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813816070556641 y=0.342464447021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813816070556641 × 217)
    floor (0.813816070556641 × 131072)
    floor (106668.5)     		tx = 106668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342464447021484 × 217)
    floor (0.342464447021484 × 131072)
    floor (44887.5)     		ty = 44887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106668 / 44887 ti = "17/106668/44887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106668/44887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106668 ÷ 217
    106668 ÷ 131072     		x = 0.813812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44887 ÷ 217
    44887 ÷ 131072     		y = 0.342460632324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813812255859375 × 2 - 1) × π
    0.62762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97174056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342460632324219 × 2 - 1) × π
    0.315078735351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.989849040254539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97174056} λ = 1.97174056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989849040254539))-π/2
    2×atan(2.69082823494186)-π/2
    2×1.21498099551607-π/2
    2.42996199103213-1.57079632675     		φ = 0.85916566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97174056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.972412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85916566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.226566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106668 KachelY 44887 1.97174056 0.85916566 112.972412 49.226566
    Oben rechts KachelX + 1 106669 KachelY 44887 1.97178849 0.85916566 112.975159 49.226566
    Unten links KachelX 106668 KachelY + 1 44888 1.97174056 0.85913436 112.972412 49.224773
    Unten rechts KachelX + 1 106669 KachelY + 1 44888 1.97178849 0.85913436 112.975159 49.224773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85916566-0.85913436) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dl = 199.412300000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85916566-0.85913436) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dr = 199.412300000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97174056-1.97178849) × cos(0.85916566) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.653069539366191 × 6371000     		do = 199.422640272147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97174056-1.97178849) × cos(0.85913436) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.653093242471947 × 6371000     		du = 199.429878300638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85916566)-sin(0.85913436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653069539366191-0.653093242471947)×R²
    abs(1.97178849-1.97174056)×2.37031057563897e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37031057563897e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37031057563897e-05×40589641000000     		ar = 39768.0490479387m²