Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106667 / 44471
↖ ↑ ↗
← N 49.967123°
E112.969666°		 ← 196.46 m → N 49.967123°
E112.972412°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
N 49.965356°
E112.969666°		 ← 196.47 m →
38 601 m²		 N 49.965356°
E112.972412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813808441162109 y=0.339290618896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813808441162109 × 217)
    floor (0.813808441162109 × 131072)
    floor (106667.5)     		tx = 106667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339290618896484 × 217)
    floor (0.339290618896484 × 131072)
    floor (44471.5)     		ty = 44471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106667 / 44471 ti = "17/106667/44471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106667/44471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106667 ÷ 217
    106667 ÷ 131072     		x = 0.813804626464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44471 ÷ 217
    44471 ÷ 131072     		y = 0.339286804199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813804626464844 × 2 - 1) × π
    0.627609252929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.97169262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339286804199219 × 2 - 1) × π
    0.321426391601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.00979079049648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97169262} λ = 1.97169262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00979079049648))-π/2
    2×atan(2.7450266692731)-π/2
    2×1.22144356710635-π/2
    2.44288713421269-1.57079632675     		φ = 0.87209081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97169262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.969666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87209081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.967123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106667 KachelY 44471 1.97169262 0.87209081 112.969666 49.967123
    Oben rechts KachelX + 1 106668 KachelY 44471 1.97174056 0.87209081 112.972412 49.967123
    Unten links KachelX 106667 KachelY + 1 44472 1.97169262 0.87205997 112.969666 49.965356
    Unten rechts KachelX + 1 106668 KachelY + 1 44472 1.97174056 0.87205997 112.972412 49.965356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87209081-0.87205997) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87209081-0.87205997) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97169262-1.97174056) × cos(0.87209081) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643227072394754 × 6371000     		do = 196.458104574073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97169262-1.97174056) × cos(0.87205997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643250685520518 × 6371000     		du = 196.465316630483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87209081)-sin(0.87205997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643227072394754-0.643250685520518)×R²
    abs(1.97174056-1.97169262)×2.36131257632666e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36131257632666e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36131257632666e-05×40589641000000     		ar = 38601.1190993631m²