Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106661 / 44469
↖ ↑ ↗
← N 49.970656°
E112.953186°		 ← 196.40 m → N 49.970656°
E112.955932°		 →
↑
196.42 m
↓
↑
196.42 m
↓
N 49.968889°
E112.953186°		 ← 196.41 m →
38 578 m²		 N 49.968889°
E112.955932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813762664794922 y=0.339275360107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813762664794922 × 217)
    floor (0.813762664794922 × 131072)
    floor (106661.5)     		tx = 106661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339275360107422 × 217)
    floor (0.339275360107422 × 131072)
    floor (44469.5)     		ty = 44469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106661 / 44469 ti = "17/106661/44469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106661/44469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106661 ÷ 217
    106661 ÷ 131072     		x = 0.813758850097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44469 ÷ 217
    44469 ÷ 131072     		y = 0.339271545410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813758850097656 × 2 - 1) × π
    0.627517700195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.97140500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339271545410156 × 2 - 1) × π
    0.321456909179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.00988666429572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97140500} λ = 1.97140500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00988666429572))-π/2
    2×atan(2.74528985802515)-π/2
    2×1.22147440028631-π/2
    2.44294880057261-1.57079632675     		φ = 0.87215247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97140500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.953186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87215247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.970656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106661 KachelY 44469 1.97140500 0.87215247 112.953186 49.970656
    Oben rechts KachelX + 1 106662 KachelY 44469 1.97145293 0.87215247 112.955932 49.970656
    Unten links KachelX 106661 KachelY + 1 44470 1.97140500 0.87212164 112.953186 49.968889
    Unten rechts KachelX + 1 106662 KachelY + 1 44470 1.97145293 0.87212164 112.955932 49.968889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87215247-0.87212164) × R
    3.08299999999262e-05 × 6371000     		dl = 196.41792999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87215247-0.87212164) × R
    3.08299999999262e-05 × 6371000     		dr = 196.41792999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97140500-1.97145293) × cos(0.87215247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.643179859622222 × 6371000     		do = 196.402707589477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97140500-1.97145293) × cos(0.87212164) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.643203466314167 × 6371000     		du = 196.409916176851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87215247)-sin(0.87212164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643179859622222-0.643203466314167)×R²
    abs(1.97145293-1.97140500)×2.36066919447886e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36066919447886e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36066919447886e-05×40589641000000     		ar = 38577.7212220111m²