Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10666 / 6584
↖ ↑ ↗
← N 80.711093°
W121.409912°		 ← 98.59 m → N 80.711093°
W121.404419°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
N 80.710206°
W121.409912°		 ← 98.60 m →
9 724 m²		 N 80.710206°
W121.404419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162757873535156 y=0.100471496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162757873535156 × 216)
    floor (0.162757873535156 × 65536)
    floor (10666.5)     		tx = 10666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100471496582031 × 216)
    floor (0.100471496582031 × 65536)
    floor (6584.5)     		ty = 6584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10666 / 6584 ti = "16/10666/6584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10666/6584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10666 ÷ 216
    10666 ÷ 65536     		x = 0.162750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6584 ÷ 216
    6584 ÷ 65536     		y = 0.1004638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.67449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11900271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1004638671875 × 2 - 1) × π
    0.799072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5103595593031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11900271} λ = -2.11900271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5103595593031))-π/2
    2×atan(12.3093552080915)-π/2
    2×1.48973531853206-π/2
    2.97947063706413-1.57079632675     		φ = 1.40867431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11900271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.409912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40867431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.711093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10666 KachelY 6584 -2.11900271 1.40867431 -121.409912 80.711093
    Oben rechts KachelX + 1 10667 KachelY 6584 -2.11890684 1.40867431 -121.404419 80.711093
    Unten links KachelX 10666 KachelY + 1 6585 -2.11900271 1.40865883 -121.409912 80.710206
    Unten rechts KachelX + 1 10667 KachelY + 1 6585 -2.11890684 1.40865883 -121.404419 80.710206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40867431-1.40865883) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dl = 98.6230800004311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40867431-1.40865883) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dr = 98.6230800004311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11900271--2.11890684) × cos(1.40867431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161412759216488 × 6371000     		do = 98.5889392513834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11900271--2.11890684) × cos(1.40865883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161428036207675 × 6371000     		du = 98.5982702507632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40867431)-sin(1.40865883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161412759216488-0.161428036207675)×R²
    abs(-2.11890684--2.11900271)×1.52769911875572e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52769911875572e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52769911875572e-05×40589641000000     		ar = 9723.60496935008m²