Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106652 / 44475
↖ ↑ ↗
← N 49.960055°
E112.928467°		 ← 196.49 m → N 49.960055°
E112.931213°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
N 49.958288°
E112.928467°		 ← 196.49 m →
38 607 m²		 N 49.958288°
E112.931213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813694000244141 y=0.339321136474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813694000244141 × 217)
    floor (0.813694000244141 × 131072)
    floor (106652.5)     		tx = 106652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339321136474609 × 217)
    floor (0.339321136474609 × 131072)
    floor (44475.5)     		ty = 44475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106652 / 44475 ti = "17/106652/44475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106652/44475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106652 ÷ 217
    106652 ÷ 131072     		x = 0.813690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44475 ÷ 217
    44475 ÷ 131072     		y = 0.339317321777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813690185546875 × 2 - 1) × π
    0.62738037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.97097356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339317321777344 × 2 - 1) × π
    0.321365356445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.009599042898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97097356} λ = 1.97097356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.009599042898))-π/2
    2×atan(2.74450036746167)-π/2
    2×1.2213818939559-π/2
    2.44276378791181-1.57079632675     		φ = 0.87196746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97097356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.928467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87196746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.960055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106652 KachelY 44475 1.97097356 0.87196746 112.928467 49.960055
    Oben rechts KachelX + 1 106653 KachelY 44475 1.97102150 0.87196746 112.931213 49.960055
    Unten links KachelX 106652 KachelY + 1 44476 1.97097356 0.87193662 112.928467 49.958288
    Unten rechts KachelX + 1 106653 KachelY + 1 44476 1.97102150 0.87193662 112.931213 49.958288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87196746-0.87193662) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87196746-0.87193662) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97097356-1.97102150) × cos(0.87196746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64332151357096 × 6371000     		do = 196.486949340202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97097356-1.97102150) × cos(0.87193662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64334512424959 × 6371000     		du = 196.494160649194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87196746)-sin(0.87193662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64332151357096-0.64334512424959)×R²
    abs(1.97102150-1.97097356)×2.36106786295487e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36106786295487e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36106786295487e-05×40589641000000     		ar = 38606.7864928288m²