Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106650 / 45110
↖ ↑ ↗
← N 48.824949°
E112.922974°		 ← 201.08 m → N 48.824949°
E112.925720°		 →
↑
201.07 m
↓
↑
201.07 m
↓
N 48.823141°
E112.922974°		 ← 201.09 m →
40 432 m²		 N 48.823141°
E112.925720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813678741455078 y=0.344165802001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813678741455078 × 217)
    floor (0.813678741455078 × 131072)
    floor (106650.5)     		tx = 106650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344165802001953 × 217)
    floor (0.344165802001953 × 131072)
    floor (45110.5)     		ty = 45110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106650 / 45110 ti = "17/106650/45110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106650/45110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106650 ÷ 217
    106650 ÷ 131072     		x = 0.813674926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45110 ÷ 217
    45110 ÷ 131072     		y = 0.344161987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813674926757812 × 2 - 1) × π
    0.627349853515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97087769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344161987304688 × 2 - 1) × π
    0.311676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.979159111639267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97087769} λ = 1.97087769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979159111639267))-π/2
    2×atan(2.6622166734334)-π/2
    2×1.21147622344991-π/2
    2.42295244689981-1.57079632675     		φ = 0.85215612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97087769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.922974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85215612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.824949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106650 KachelY 45110 1.97087769 0.85215612 112.922974 48.824949
    Oben rechts KachelX + 1 106651 KachelY 45110 1.97092563 0.85215612 112.925720 48.824949
    Unten links KachelX 106650 KachelY + 1 45111 1.97087769 0.85212456 112.922974 48.823141
    Unten rechts KachelX + 1 106651 KachelY + 1 45111 1.97092563 0.85212456 112.925720 48.823141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85215612-0.85212456) × R
    3.15599999999305e-05 × 6371000     		dl = 201.068759999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85215612-0.85212456) × R
    3.15599999999305e-05 × 6371000     		dr = 201.068759999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97087769-1.97092563) × cos(0.85215612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658361762351056 × 6371000     		do = 201.080628453644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97087769-1.97092563) × cos(0.85212456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658385517287586 × 6371000     		du = 201.087883822712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85215612)-sin(0.85212456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658361762351056-0.658385517287586)×R²
    abs(1.97092563-1.97087769)×2.37549365293965e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37549365293965e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37549365293965e-05×40589641000000     		ar = 40431.7620406804m²