Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10665 / 18985
↖ ↑ ↗
← N 60.127828°
W121.415405°		 ← 304.21 m → N 60.127828°
W121.409912°		 →
↑
304.28 m
↓
↑
304.28 m
↓
N 60.125092°
W121.415405°		 ← 304.24 m →
92 569 m²		 N 60.125092°
W121.409912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162742614746094 y=0.289695739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162742614746094 × 216)
    floor (0.162742614746094 × 65536)
    floor (10665.5)     		tx = 10665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289695739746094 × 216)
    floor (0.289695739746094 × 65536)
    floor (18985.5)     		ty = 18985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10665 / 18985 ti = "16/10665/18985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10665/18985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10665 ÷ 216
    10665 ÷ 65536     		x = 0.162734985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18985 ÷ 216
    18985 ÷ 65536     		y = 0.289688110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162734985351562 × 2 - 1) × π
    -0.674530029296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11909858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289688110351562 × 2 - 1) × π
    0.420623779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32142857492647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11909858} λ = -2.11909858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32142857492647))-π/2
    2×atan(3.74877295683568)-π/2
    2×1.31011244670744-π/2
    2.62022489341488-1.57079632675     		φ = 1.04942857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11909858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.415405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04942857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.127828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10665 KachelY 18985 -2.11909858 1.04942857 -121.415405 60.127828
    Oben rechts KachelX + 1 10666 KachelY 18985 -2.11900271 1.04942857 -121.409912 60.127828
    Unten links KachelX 10665 KachelY + 1 18986 -2.11909858 1.04938081 -121.415405 60.125092
    Unten rechts KachelX + 1 10666 KachelY + 1 18986 -2.11900271 1.04938081 -121.409912 60.125092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04942857-1.04938081) × R
    4.77599999999523e-05 × 6371000     		dl = 304.278959999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04942857-1.04938081) × R
    4.77599999999523e-05 × 6371000     		dr = 304.278959999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11909858--2.11900271) × cos(1.04942857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.498066638282059 × 6371000     		do = 304.213011307689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11909858--2.11900271) × cos(1.04938081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.498108052261027 × 6371000     		du = 304.238306459549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04942857)-sin(1.04938081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498066638282059-0.498108052261027)×R²
    abs(-2.11900271--2.11909858)×4.14139789674528e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.14139789674528e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.14139789674528e-05×40589641000000     		ar = 92569.4671079598m²