Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106649 / 45112
↖ ↑ ↗
← N 48.821333°
E112.920227°		 ← 201.10 m → N 48.821333°
E112.922974°		 →
↑
201.07 m
↓
↑
201.07 m
↓
N 48.819524°
E112.920227°		 ← 201.10 m →
40 435 m²		 N 48.819524°
E112.922974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813671112060547 y=0.344181060791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813671112060547 × 217)
    floor (0.813671112060547 × 131072)
    floor (106649.5)     		tx = 106649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344181060791016 × 217)
    floor (0.344181060791016 × 131072)
    floor (45112.5)     		ty = 45112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106649 / 45112 ti = "17/106649/45112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106649/45112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106649 ÷ 217
    106649 ÷ 131072     		x = 0.813667297363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45112 ÷ 217
    45112 ÷ 131072     		y = 0.34417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813667297363281 × 2 - 1) × π
    0.627334594726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.97082975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34417724609375 × 2 - 1) × π
    0.3116455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.979063237840027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97082975} λ = 1.97082975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979063237840027))-π/2
    2×atan(2.66196144884139)-π/2
    2×1.21144466248944-π/2
    2.42288932497888-1.57079632675     		φ = 0.85209300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97082975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.920227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85209300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.821333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106649 KachelY 45112 1.97082975 0.85209300 112.920227 48.821333
    Oben rechts KachelX + 1 106650 KachelY 45112 1.97087769 0.85209300 112.922974 48.821333
    Unten links KachelX 106649 KachelY + 1 45113 1.97082975 0.85206144 112.920227 48.819524
    Unten rechts KachelX + 1 106650 KachelY + 1 45113 1.97087769 0.85206144 112.922974 48.819524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85209300-0.85206144) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dl = 201.068760000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85209300-0.85206144) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dr = 201.068760000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97082975-1.97087769) × cos(0.85209300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658409271568341 × 6371000     		do = 201.09513899149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97082975-1.97087769) × cos(0.85206144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658433025193298 × 6371000     		du = 201.10239395997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85209300)-sin(0.85206144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658409271568341-0.658433025193298)×R²
    abs(1.97087769-1.97082975)×2.37536249576564e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37536249576564e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37536249576564e-05×40589641000000     		ar = 40434.6796162255m²