Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106647 / 45113
↖ ↑ ↗
← N 48.819524°
E112.914734°		 ← 201.10 m → N 48.819524°
E112.917481°		 →
↑
201.13 m
↓
↑
201.13 m
↓
N 48.817716°
E112.914734°		 ← 201.11 m →
40 449 m²		 N 48.817716°
E112.917481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813655853271484 y=0.344188690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813655853271484 × 217)
    floor (0.813655853271484 × 131072)
    floor (106647.5)     		tx = 106647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344188690185547 × 217)
    floor (0.344188690185547 × 131072)
    floor (45113.5)     		ty = 45113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106647 / 45113 ti = "17/106647/45113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106647/45113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106647 ÷ 217
    106647 ÷ 131072     		x = 0.813652038574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45113 ÷ 217
    45113 ÷ 131072     		y = 0.344184875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813652038574219 × 2 - 1) × π
    0.627304077148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.97073388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344184875488281 × 2 - 1) × π
    0.311630249023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.979015300940407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97073388} λ = 1.97073388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979015300940407))-π/2
    2×atan(2.6618338457211)-π/2
    2×1.21142888115514-π/2
    2.42285776231027-1.57079632675     		φ = 0.85206144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97073388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.914734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85206144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.819524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106647 KachelY 45113 1.97073388 0.85206144 112.914734 48.819524
    Oben rechts KachelX + 1 106648 KachelY 45113 1.97078182 0.85206144 112.917481 48.819524
    Unten links KachelX 106647 KachelY + 1 45114 1.97073388 0.85202987 112.914734 48.817716
    Unten rechts KachelX + 1 106648 KachelY + 1 45114 1.97078182 0.85202987 112.917481 48.817716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85206144-0.85202987) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dl = 201.132469999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85206144-0.85202987) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dr = 201.132469999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97073388-1.97078182) × cos(0.85206144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658433025193298 × 6371000     		do = 201.10239395997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97073388-1.97078182) × cos(0.85202987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65845678568862 × 6371000     		du = 201.109651026836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85206144)-sin(0.85202987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658433025193298-0.65845678568862)×R²
    abs(1.97078182-1.97073388)×2.37604953216008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37604953216008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37604953216008e-05×40589641000000     		ar = 40448.9510392254m²