Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106647 / 45111
↖ ↑ ↗
← N 48.823141°
E112.914734°		 ← 201.09 m → N 48.823141°
E112.917481°		 →
↑
201.07 m
↓
↑
201.07 m
↓
N 48.821333°
E112.914734°		 ← 201.10 m →
40 433 m²		 N 48.821333°
E112.917481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813655853271484 y=0.344173431396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813655853271484 × 217)
    floor (0.813655853271484 × 131072)
    floor (106647.5)     		tx = 106647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344173431396484 × 217)
    floor (0.344173431396484 × 131072)
    floor (45111.5)     		ty = 45111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106647 / 45111 ti = "17/106647/45111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106647/45111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106647 ÷ 217
    106647 ÷ 131072     		x = 0.813652038574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45111 ÷ 217
    45111 ÷ 131072     		y = 0.344169616699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813652038574219 × 2 - 1) × π
    0.627304077148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.97073388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344169616699219 × 2 - 1) × π
    0.311660766601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.979111174739647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97073388} λ = 1.97073388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979111174739647))-π/2
    2×atan(2.66208905807873)-π/2
    2×1.21146044325436-π/2
    2.42292088650873-1.57079632675     		φ = 0.85212456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97073388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.914734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85212456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.823141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106647 KachelY 45111 1.97073388 0.85212456 112.914734 48.823141
    Oben rechts KachelX + 1 106648 KachelY 45111 1.97078182 0.85212456 112.917481 48.823141
    Unten links KachelX 106647 KachelY + 1 45112 1.97073388 0.85209300 112.914734 48.821333
    Unten rechts KachelX + 1 106648 KachelY + 1 45112 1.97078182 0.85209300 112.917481 48.821333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85212456-0.85209300) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dl = 201.068760000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85212456-0.85209300) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dr = 201.068760000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97073388-1.97078182) × cos(0.85212456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658385517287586 × 6371000     		do = 201.087883822712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97073388-1.97078182) × cos(0.85209300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658409271568341 × 6371000     		du = 201.09513899149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85212456)-sin(0.85209300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658385517287586-0.658409271568341)×R²
    abs(1.97078182-1.97073388)×2.37542807552948e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37542807552948e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37542807552948e-05×40589641000000     		ar = 40433.2208485442m²