Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106645 / 45387
↖ ↑ ↗
← N 48.321560°
E112.909241°		 ← 203.05 m → N 48.321560°
E112.911987°		 →
↑
203.11 m
↓
↑
203.11 m
↓
N 48.319734°
E112.909241°		 ← 203.06 m →
41 242 m²		 N 48.319734°
E112.911987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813640594482422 y=0.346279144287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813640594482422 × 217)
    floor (0.813640594482422 × 131072)
    floor (106645.5)     		tx = 106645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346279144287109 × 217)
    floor (0.346279144287109 × 131072)
    floor (45387.5)     		ty = 45387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106645 / 45387 ti = "17/106645/45387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106645/45387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106645 ÷ 217
    106645 ÷ 131072     		x = 0.813636779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45387 ÷ 217
    45387 ÷ 131072     		y = 0.346275329589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813636779785156 × 2 - 1) × π
    0.627273559570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.97063801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346275329589844 × 2 - 1) × π
    0.307449340820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.965880590444511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97063801} λ = 1.97063801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965880590444511))-π/2
    2×atan(2.62710003738458)-π/2
    2×1.20708332782575-π/2
    2.41416665565151-1.57079632675     		φ = 0.84337033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97063801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.909241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84337033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.321560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106645 KachelY 45387 1.97063801 0.84337033 112.909241 48.321560
    Oben rechts KachelX + 1 106646 KachelY 45387 1.97068594 0.84337033 112.911987 48.321560
    Unten links KachelX 106645 KachelY + 1 45388 1.97063801 0.84333845 112.909241 48.319734
    Unten rechts KachelX + 1 106646 KachelY + 1 45388 1.97068594 0.84333845 112.911987 48.319734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84337033-0.84333845) × R
    3.18799999999841e-05 × 6371000     		dl = 203.107479999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84337033-0.84333845) × R
    3.18799999999841e-05 × 6371000     		dr = 203.107479999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97063801-1.97068594) × cos(0.84337033) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664949346653077 × 6371000     		do = 203.050282341281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97063801-1.97068594) × cos(0.84333845) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664973157119159 × 6371000     		du = 203.05755315354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84337033)-sin(0.84333845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664949346653077-0.664973157119159)×R²
    abs(1.97068594-1.97063801)×2.38104660822414e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38104660822414e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38104660822414e-05×40589641000000     		ar = 41241.7695411822m²