Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106631 / 45448
↖ ↑ ↗
← N 48.210032°
E112.870789°		 ← 203.54 m → N 48.210032°
E112.873535°		 →
↑
203.49 m
↓
↑
203.49 m
↓
N 48.208202°
E112.870789°		 ← 203.54 m →
41 418 m²		 N 48.208202°
E112.873535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813533782958984 y=0.346744537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813533782958984 × 217)
    floor (0.813533782958984 × 131072)
    floor (106631.5)     		tx = 106631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346744537353516 × 217)
    floor (0.346744537353516 × 131072)
    floor (45448.5)     		ty = 45448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106631 / 45448 ti = "17/106631/45448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106631/45448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106631 ÷ 217
    106631 ÷ 131072     		x = 0.813529968261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45448 ÷ 217
    45448 ÷ 131072     		y = 0.34674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813529968261719 × 2 - 1) × π
    0.627059936523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.96996689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34674072265625 × 2 - 1) × π
    0.3065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.962956439567688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96996689} λ = 1.96996689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962956439567688))-π/2
    2×atan(2.61942922128445)-π/2
    2×1.20611005990181-π/2
    2.41222011980362-1.57079632675     		φ = 0.84142379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96996689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.870789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84142379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.210032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106631 KachelY 45448 1.96996689 0.84142379 112.870789 48.210032
    Oben rechts KachelX + 1 106632 KachelY 45448 1.97001483 0.84142379 112.873535 48.210032
    Unten links KachelX 106631 KachelY + 1 45449 1.96996689 0.84139185 112.870789 48.208202
    Unten rechts KachelX + 1 106632 KachelY + 1 45449 1.97001483 0.84139185 112.873535 48.208202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84142379-0.84139185) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dl = 203.489739999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84142379-0.84139185) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dr = 203.489739999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96996689-1.97001483) × cos(0.84142379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66640193423888 × 6371000     		do = 203.536303902208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96996689-1.97001483) × cos(0.84139185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.666425748129532 × 6371000     		du = 203.543577277383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84142379)-sin(0.84139185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66640193423888-0.666425748129532)×R²
    abs(1.97001483-1.96996689)×2.38138906520913e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38138906520913e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38138906520913e-05×40589641000000     		ar = 41418.289593687m²