Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106613 / 45427
↖ ↑ ↗
← N 48.248455°
E112.821350°		 ← 203.34 m → N 48.248455°
E112.824097°		 →
↑
203.36 m
↓
↑
203.36 m
↓
N 48.246626°
E112.821350°		 ← 203.35 m →
41 353 m²		 N 48.246626°
E112.824097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813396453857422 y=0.346584320068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813396453857422 × 217)
    floor (0.813396453857422 × 131072)
    floor (106613.5)     		tx = 106613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346584320068359 × 217)
    floor (0.346584320068359 × 131072)
    floor (45427.5)     		ty = 45427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106613 / 45427 ti = "17/106613/45427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106613/45427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106613 ÷ 217
    106613 ÷ 131072     		x = 0.813392639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45427 ÷ 217
    45427 ÷ 131072     		y = 0.346580505371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813392639160156 × 2 - 1) × π
    0.626785278320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.96910403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346580505371094 × 2 - 1) × π
    0.306838989257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.963963114459709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96910403} λ = 1.96910403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963963114459709))-π/2
    2×atan(2.6220674626158)-π/2
    2×1.20644535907474-π/2
    2.41289071814947-1.57079632675     		φ = 0.84209439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96910403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.821350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84209439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.248455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106613 KachelY 45427 1.96910403 0.84209439 112.821350 48.248455
    Oben rechts KachelX + 1 106614 KachelY 45427 1.96915196 0.84209439 112.824097 48.248455
    Unten links KachelX 106613 KachelY + 1 45428 1.96910403 0.84206247 112.821350 48.246626
    Unten rechts KachelX + 1 106614 KachelY + 1 45428 1.96915196 0.84206247 112.824097 48.246626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84209439-0.84206247) × R
    3.19199999999631e-05 × 6371000     		dl = 203.362319999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84209439-0.84206247) × R
    3.19199999999631e-05 × 6371000     		dr = 203.362319999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96910403-1.96915196) × cos(0.84209439) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.665901789975323 × 6371000     		do = 203.341122367623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96910403-1.96915196) × cos(0.84206247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66592560321415 × 6371000     		du = 203.348394026572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84209439)-sin(0.84206247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665901789975323-0.66592560321415)×R²
    abs(1.96915196-1.96910403)×2.3813238827386e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3813238827386e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3813238827386e-05×40589641000000     		ar = 41352.661790269m²