Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106609 / 45428
↖ ↑ ↗
← N 48.246626°
E112.810364°		 ← 203.35 m → N 48.246626°
E112.813110°		 →
↑
203.36 m
↓
↑
203.36 m
↓
N 48.244797°
E112.810364°		 ← 203.36 m →
41 354 m²		 N 48.244797°
E112.813110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813365936279297 y=0.346591949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813365936279297 × 217)
    floor (0.813365936279297 × 131072)
    floor (106609.5)     		tx = 106609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346591949462891 × 217)
    floor (0.346591949462891 × 131072)
    floor (45428.5)     		ty = 45428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106609 / 45428 ti = "17/106609/45428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106609/45428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106609 ÷ 217
    106609 ÷ 131072     		x = 0.813362121582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45428 ÷ 217
    45428 ÷ 131072     		y = 0.346588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813362121582031 × 2 - 1) × π
    0.626724243164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.96891228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346588134765625 × 2 - 1) × π
    0.30682373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.963915177560089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96891228} λ = 1.96891228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963915177560089))-π/2
    2×atan(2.62194177184368)-π/2
    2×1.20642939815573-π/2
    2.41285879631146-1.57079632675     		φ = 0.84206247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96891228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.810364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84206247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.246626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106609 KachelY 45428 1.96891228 0.84206247 112.810364 48.246626
    Oben rechts KachelX + 1 106610 KachelY 45428 1.96896021 0.84206247 112.813110 48.246626
    Unten links KachelX 106609 KachelY + 1 45429 1.96891228 0.84203055 112.810364 48.244797
    Unten rechts KachelX + 1 106610 KachelY + 1 45429 1.96896021 0.84203055 112.813110 48.244797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84206247-0.84203055) × R
    3.19199999999631e-05 × 6371000     		dl = 203.362319999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84206247-0.84203055) × R
    3.19199999999631e-05 × 6371000     		dr = 203.362319999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96891228-1.96896021) × cos(0.84206247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66592560321415 × 6371000     		do = 203.348394026572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96891228-1.96896021) × cos(0.84203055) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.665949415774475 × 6371000     		du = 203.355665478332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84206247)-sin(0.84203055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66592560321415-0.665949415774475)×R²
    abs(1.96896021-1.96891228)×2.38125603249095e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38125603249095e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38125603249095e-05×40589641000000     		ar = 41354.140550636m²