Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10660 / 12090
↖ ↑ ↗
← S 64.717880°
E 54.228516°		 ← 1 043.44 m → S 64.717880°
E 54.250488°		 →
↑
1 043.25 m
↓
↑
1 043.25 m
↓
S 64.727262°
E 54.228516°		 ← 1 043.08 m →
1 088 379 m²		 S 64.727262°
E 54.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650665283203125 y=0.737945556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650665283203125 × 214)
    floor (0.650665283203125 × 16384)
    floor (10660.5)     		tx = 10660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737945556640625 × 214)
    floor (0.737945556640625 × 16384)
    floor (12090.5)     		ty = 12090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10660 / 12090 ti = "14/10660/12090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10660/12090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10660 ÷ 214
    10660 ÷ 16384     		x = 0.650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12090 ÷ 214
    12090 ÷ 16384     		y = 0.7379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650634765625 × 2 - 1) × π
    0.30126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94646615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.475830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49486427775183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94646615} λ = 0.94646615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49486427775183))-π/2
    2×atan(0.2242790423208)-π/2
    2×0.220628118589708-π/2
    0.441256237179417-1.57079632675     		φ = -1.12954009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94646615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.228516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12954009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.717880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10660 KachelY 12090 0.94646615 -1.12954009 54.228516 -64.717880
    Oben rechts KachelX + 1 10661 KachelY 12090 0.94684964 -1.12954009 54.250488 -64.717880
    Unten links KachelX 10660 KachelY + 1 12091 0.94646615 -1.12970384 54.228516 -64.727262
    Unten rechts KachelX + 1 10661 KachelY + 1 12091 0.94684964 -1.12970384 54.250488 -64.727262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12954009--1.12970384) × R
    0.000163749999999796 × 6371000     		dl = 1043.2512499987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12954009--1.12970384) × R
    0.000163749999999796 × 6371000     		dr = 1043.2512499987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94646615-0.94684964) × cos(-1.12954009) × R
    0.000383490000000042 × 0.427075711002566 × 6371000     		do = 1043.43769357135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94646615-0.94684964) × cos(-1.12970384) × R
    0.000383490000000042 × 0.426927639928923 × 6371000     		du = 1043.07592413425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12954009)-sin(-1.12970384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427075711002566-0.426927639928923)×R²
    abs(0.94684964-0.94646615)×0.000148071073642675×R²
    0.000383490000000042×0.000148071073642675×6371000²
    0.000383490000000042×0.000148071073642675×40589641000000     		ar = 1088378.97233755m²