Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10660 / 12089
↖ ↑ ↗
← S 64.708494°
E 54.228516°		 ← 1 043.80 m → S 64.708494°
E 54.250488°		 →
↑
1 043.63 m
↓
↑
1 043.63 m
↓
S 64.717880°
E 54.228516°		 ← 1 043.44 m →
1 089 155 m²		 S 64.717880°
E 54.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650665283203125 y=0.737884521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650665283203125 × 214)
    floor (0.650665283203125 × 16384)
    floor (10660.5)     		tx = 10660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737884521484375 × 214)
    floor (0.737884521484375 × 16384)
    floor (12089.5)     		ty = 12089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10660 / 12089 ti = "14/10660/12089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10660/12089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10660 ÷ 214
    10660 ÷ 16384     		x = 0.650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12089 ÷ 214
    12089 ÷ 16384     		y = 0.73785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650634765625 × 2 - 1) × π
    0.30126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94646615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.4757080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49448078255487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94646615} λ = 0.94646615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49448078255487))-π/2
    2×atan(0.224365068750616)-π/2
    2×0.220710023531321-π/2
    0.441420047062642-1.57079632675     		φ = -1.12937628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94646615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.228516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12937628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.708494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10660 KachelY 12089 0.94646615 -1.12937628 54.228516 -64.708494
    Oben rechts KachelX + 1 10661 KachelY 12089 0.94684964 -1.12937628 54.250488 -64.708494
    Unten links KachelX 10660 KachelY + 1 12090 0.94646615 -1.12954009 54.228516 -64.717880
    Unten rechts KachelX + 1 10661 KachelY + 1 12090 0.94684964 -1.12954009 54.250488 -64.717880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12937628--1.12954009) × R
    0.000163810000000097 × 6371000     		dl = 1043.63351000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12937628--1.12954009) × R
    0.000163810000000097 × 6371000     		dr = 1043.63351000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94646615-0.94684964) × cos(-1.12937628) × R
    0.000383490000000042 × 0.427223824873329 × 6371000     		do = 1043.799567571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94646615-0.94684964) × cos(-1.12954009) × R
    0.000383490000000042 × 0.427075711002566 × 6371000     		du = 1043.43769357135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12937628)-sin(-1.12954009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427223824873329-0.427075711002566)×R²
    abs(0.94684964-0.94646615)×0.0001481138707628×R²
    0.000383490000000042×0.0001481138707628×6371000²
    0.000383490000000042×0.0001481138707628×40589641000000     		ar = 1089155.37696018m²