Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106597 / 44767
↖ ↑ ↗
← N 49.441343°
E112.777405°		 ← 198.55 m → N 49.441343°
E112.780151°		 →
↑
198.58 m
↓
↑
198.58 m
↓
N 49.439557°
E112.777405°		 ← 198.56 m →
39 430 m²		 N 49.439557°
E112.780151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813274383544922 y=0.341548919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813274383544922 × 217)
    floor (0.813274383544922 × 131072)
    floor (106597.5)     		tx = 106597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341548919677734 × 217)
    floor (0.341548919677734 × 131072)
    floor (44767.5)     		ty = 44767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106597 / 44767 ti = "17/106597/44767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106597/44767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106597 ÷ 217
    106597 ÷ 131072     		x = 0.813270568847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44767 ÷ 217
    44767 ÷ 131072     		y = 0.341545104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813270568847656 × 2 - 1) × π
    0.626541137695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.96833704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341545104980469 × 2 - 1) × π
    0.316909790039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.995601468208946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96833704} λ = 1.96833704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995601468208946))-π/2
    2×atan(2.70635163631875)-π/2
    2×1.21685527341597-π/2
    2.43371054683195-1.57079632675     		φ = 0.86291422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96833704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.777405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86291422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.441343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106597 KachelY 44767 1.96833704 0.86291422 112.777405 49.441343
    Oben rechts KachelX + 1 106598 KachelY 44767 1.96838497 0.86291422 112.780151 49.441343
    Unten links KachelX 106597 KachelY + 1 44768 1.96833704 0.86288305 112.777405 49.439557
    Unten rechts KachelX + 1 106598 KachelY + 1 44768 1.96838497 0.86288305 112.780151 49.439557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86291422-0.86288305) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dl = 198.584069999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86291422-0.86288305) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dr = 198.584069999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96833704-1.96838497) × cos(0.86291422) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650226180867678 × 6371000     		do = 198.554386549023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96833704-1.96838497) × cos(0.86288305) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650249861669064 × 6371000     		du = 198.561617766606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86291422)-sin(0.86288305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650226180867678-0.650249861669064)×R²
    abs(1.96838497-1.96833704)×2.3680801385928e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3680801385928e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3680801385928e-05×40589641000000     		ar = 39430.456202753m²