Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106593 / 44828
↖ ↑ ↗
← N 49.332282°
E112.766419°		 ← 199 m → N 49.332282°
E112.769165°		 →
↑
199.03 m
↓
↑
199.03 m
↓
N 49.330492°
E112.766419°		 ← 199 m →
39 607 m²		 N 49.330492°
E112.769165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813243865966797 y=0.342014312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813243865966797 × 217)
    floor (0.813243865966797 × 131072)
    floor (106593.5)     		tx = 106593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342014312744141 × 217)
    floor (0.342014312744141 × 131072)
    floor (44828.5)     		ty = 44828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106593 / 44828 ti = "17/106593/44828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106593/44828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106593 ÷ 217
    106593 ÷ 131072     		x = 0.813240051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44828 ÷ 217
    44828 ÷ 131072     		y = 0.342010498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813240051269531 × 2 - 1) × π
    0.626480102539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.96814529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342010498046875 × 2 - 1) × π
    0.31597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.992677317332123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96814529} λ = 1.96814529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992677317332123))-π/2
    2×atan(2.69844941508276)-π/2
    2×1.21590353746618-π/2
    2.43180707493236-1.57079632675     		φ = 0.86101075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96814529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.766419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86101075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.332282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106593 KachelY 44828 1.96814529 0.86101075 112.766419 49.332282
    Oben rechts KachelX + 1 106594 KachelY 44828 1.96819322 0.86101075 112.769165 49.332282
    Unten links KachelX 106593 KachelY + 1 44829 1.96814529 0.86097951 112.766419 49.330492
    Unten rechts KachelX + 1 106594 KachelY + 1 44829 1.96819322 0.86097951 112.769165 49.330492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86101075-0.86097951) × R
    3.1240000000099e-05 × 6371000     		dl = 199.030040000631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86101075-0.86097951) × R
    3.1240000000099e-05 × 6371000     		dr = 199.030040000631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96814529-1.96819322) × cos(0.86101075) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.651671145653923 × 6371000     		do = 198.995623929429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96814529-1.96819322) × cos(0.86097951) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.651694840926746 × 6371000     		du = 199.00285956604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86101075)-sin(0.86097951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651671145653923-0.651694840926746)×R²
    abs(1.96819322-1.96814529)×2.36952728235318e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36952728235318e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36952728235318e-05×40589641000000     		ar = 39606.827048388m²