Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10659 / 12137
↖ ↑ ↗
← S 65.155349°
E 54.206543°		 ← 1 026.57 m → S 65.155349°
E 54.228516°		 →
↑
1 026.37 m
↓
↑
1 026.37 m
↓
S 65.164579°
E 54.206543°		 ← 1 026.21 m →
1 053 452 m²		 S 65.164579°
E 54.228516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650604248046875 y=0.740814208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650604248046875 × 214)
    floor (0.650604248046875 × 16384)
    floor (10659.5)     		tx = 10659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740814208984375 × 214)
    floor (0.740814208984375 × 16384)
    floor (12137.5)     		ty = 12137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10659 / 12137 ti = "14/10659/12137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10659/12137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10659 ÷ 214
    10659 ÷ 16384     		x = 0.65057373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12137 ÷ 214
    12137 ÷ 16384     		y = 0.74078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65057373046875 × 2 - 1) × π
    0.3011474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.94608265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.4815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51288855200897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94608265} λ = 0.94608265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51288855200897))-π/2
    2×atan(0.220272788718917)-π/2
    2×0.216810485344672-π/2
    0.433620970689344-1.57079632675     		φ = -1.13717536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94608265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.206543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13717536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.155349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10659 KachelY 12137 0.94608265 -1.13717536 54.206543 -65.155349
    Oben rechts KachelX + 1 10660 KachelY 12137 0.94646615 -1.13717536 54.228516 -65.155349
    Unten links KachelX 10659 KachelY + 1 12138 0.94608265 -1.13733646 54.206543 -65.164579
    Unten rechts KachelX + 1 10660 KachelY + 1 12138 0.94646615 -1.13733646 54.228516 -65.164579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13717536--1.13733646) × R
    0.000161099999999914 × 6371000     		dl = 1026.36809999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13717536--1.13733646) × R
    0.000161099999999914 × 6371000     		dr = 1026.36809999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94608265-0.94646615) × cos(-1.13717536) × R
    0.000383499999999981 × 0.420159397157108 × 6371000     		do = 1026.56642164687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94608265-0.94646615) × cos(-1.13733646) × R
    0.000383499999999981 × 0.420013201459149 × 6371000     		du = 1026.20922484126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13717536)-sin(-1.13733646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420159397157108-0.420013201459149)×R²
    abs(0.94646615-0.94608265)×0.00014619569795904×R²
    0.000383499999999981×0.00014619569795904×6371000²
    0.000383499999999981×0.00014619569795904×40589641000000     		ar = 1053451.7222855m²