Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106578 / 44785
↖ ↑ ↗
← N 49.409186°
E112.725219°		 ← 198.73 m → N 49.409186°
E112.727966°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
N 49.407399°
E112.725219°		 ← 198.73 m →
39 490 m²		 N 49.407399°
E112.727966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813129425048828 y=0.341686248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813129425048828 × 217)
    floor (0.813129425048828 × 131072)
    floor (106578.5)     		tx = 106578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341686248779297 × 217)
    floor (0.341686248779297 × 131072)
    floor (44785.5)     		ty = 44785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106578 / 44785 ti = "17/106578/44785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106578/44785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106578 ÷ 217
    106578 ÷ 131072     		x = 0.813125610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44785 ÷ 217
    44785 ÷ 131072     		y = 0.341682434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813125610351562 × 2 - 1) × π
    0.626251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96742623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341682434082031 × 2 - 1) × π
    0.316635131835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.994738604015785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96742623} λ = 1.96742623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994738604015785))-π/2
    2×atan(2.7040174295942)-π/2
    2×1.21657465301552-π/2
    2.43314930603104-1.57079632675     		φ = 0.86235298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96742623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.725219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86235298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.409186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106578 KachelY 44785 1.96742623 0.86235298 112.725219 49.409186
    Oben rechts KachelX + 1 106579 KachelY 44785 1.96747417 0.86235298 112.727966 49.409186
    Unten links KachelX 106578 KachelY + 1 44786 1.96742623 0.86232179 112.725219 49.407399
    Unten rechts KachelX + 1 106579 KachelY + 1 44786 1.96747417 0.86232179 112.727966 49.407399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86235298-0.86232179) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000     		dl = 198.711490000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86235298-0.86232179) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000     		dr = 198.711490000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96742623-1.96747417) × cos(0.86235298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650652475301809 × 6371000     		do = 198.726013751757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96742623-1.96747417) × cos(0.86232179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650676159911406 × 6371000     		du = 198.733247641169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86235298)-sin(0.86232179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650652475301809-0.650676159911406)×R²
    abs(1.96747417-1.96742623)×2.36846095970078e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36846095970078e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36846095970078e-05×40589641000000     		ar = 39489.861026003m²