Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106577 / 44785
N 49.409186°
E112.722473°
← 198.68 m → N 49.409186°
E112.725219°

198.71 m

198.71 m
N 49.407399°
E112.722473°
← 198.69 m →
39 482 m²
N 49.407399°
E112.725219°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813121795654297 y=0.341686248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813121795654297 × 217)
    floor (0.813121795654297 × 131072)
    floor (106577.5)
    tx = 106577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341686248779297 × 217)
    floor (0.341686248779297 × 131072)
    floor (44785.5)
    ty = 44785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106577 / 44785 ti = "17/106577/44785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106577/44785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106577 ÷ 217
    106577 ÷ 131072
    x = 0.813117980957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44785 ÷ 217
    44785 ÷ 131072
    y = 0.341682434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.813117980957031 × 2 - 1) × π
    0.626235961914062 × 3.1415926535
    Λ = 1.96737830
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.341682434082031 × 2 - 1) × π
    0.316635131835938 × 3.1415926535
    Φ = 0.994738604015785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96737830} λ = 1.96737830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994738604015785))-π/2
    2×atan(2.7040174295942)-π/2
    2×1.21657465301552-π/2
    2.43314930603104-1.57079632675
    φ = 0.86235298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96737830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.722473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86235298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.409186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106577 KachelY 44785 1.96737830 0.86235298 112.722473 49.409186
    Oben rechts KachelX + 1 106578 KachelY 44785 1.96742623 0.86235298 112.725219 49.409186
    Unten links KachelX 106577 KachelY + 1 44786 1.96737830 0.86232179 112.722473 49.407399
    Unten rechts KachelX + 1 106578 KachelY + 1 44786 1.96742623 0.86232179 112.725219 49.407399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.86235298-0.86232179) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000
    dl = 198.711490000445m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.86235298-0.86232179) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000
    dr = 198.711490000445m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.96737830-1.96742623) × cos(0.86235298) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650652475301809 × 6371000
    do = 198.684560682807m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.96737830-1.96742623) × cos(0.86232179) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650676159911406 × 6371000
    du = 198.691793063273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.86235298)-sin(0.86232179))×
    abs(λ12)×abs(0.650652475301809-0.650676159911406)×
    abs(1.96742623-1.96737830)×2.36846095970078e-05×
    4.79300000000293e-05×2.36846095970078e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36846095970078e-05×40589641000000
    ar = 39481.6236749838m²