Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106576 / 44886
↖ ↑ ↗
← N 49.228360°
E112.719727°		 ← 199.46 m → N 49.228360°
E112.722473°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
N 49.226566°
E112.719727°		 ← 199.46 m →
39 788 m²		 N 49.226566°
E112.722473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813114166259766 y=0.342456817626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813114166259766 × 217)
    floor (0.813114166259766 × 131072)
    floor (106576.5)     		tx = 106576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342456817626953 × 217)
    floor (0.342456817626953 × 131072)
    floor (44886.5)     		ty = 44886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106576 / 44886 ti = "17/106576/44886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106576/44886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106576 ÷ 217
    106576 ÷ 131072     		x = 0.8131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44886 ÷ 217
    44886 ÷ 131072     		y = 0.342453002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8131103515625 × 2 - 1) × π
    0.626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96733036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342453002929688 × 2 - 1) × π
    0.315093994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.98989697715416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96733036} λ = 1.96733036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98989697715416))-π/2
    2×atan(2.69095722799659)-π/2
    2×1.21499664829634-π/2
    2.42999329659269-1.57079632675     		φ = 0.85919697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96733036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.719727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85919697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.228360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106576 KachelY 44886 1.96733036 0.85919697 112.719727 49.228360
    Oben rechts KachelX + 1 106577 KachelY 44886 1.96737830 0.85919697 112.722473 49.228360
    Unten links KachelX 106576 KachelY + 1 44887 1.96733036 0.85916566 112.719727 49.226566
    Unten rechts KachelX + 1 106577 KachelY + 1 44887 1.96737830 0.85916566 112.722473 49.226566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85919697-0.85916566) × R
    3.13099999998956e-05 × 6371000     		dl = 199.476009999335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85919697-0.85916566) × R
    3.13099999998956e-05 × 6371000     		dr = 199.476009999335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96733036-1.96737830) × cos(0.85919697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653045828047445 × 6371000     		do = 199.457005285173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96733036-1.96737830) × cos(0.85916566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653069539366191 × 6371000     		du = 199.464247332247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85919697)-sin(0.85916566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653045828047445-0.653069539366191)×R²
    abs(1.96737830-1.96733036)×2.37113187457894e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37113187457894e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37113187457894e-05×40589641000000     		ar = 39787.6098911847m²