Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106576 / 44784
↖ ↑ ↗
← N 49.410973°
E112.719727°		 ← 198.72 m → N 49.410973°
E112.722473°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
N 49.409186°
E112.719727°		 ← 198.73 m →
39 488 m²		 N 49.409186°
E112.722473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813114166259766 y=0.341678619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813114166259766 × 217)
    floor (0.813114166259766 × 131072)
    floor (106576.5)     		tx = 106576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341678619384766 × 217)
    floor (0.341678619384766 × 131072)
    floor (44784.5)     		ty = 44784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106576 / 44784 ti = "17/106576/44784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106576/44784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106576 ÷ 217
    106576 ÷ 131072     		x = 0.8131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44784 ÷ 217
    44784 ÷ 131072     		y = 0.3416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8131103515625 × 2 - 1) × π
    0.626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96733036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3416748046875 × 2 - 1) × π
    0.316650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.994786540915405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96733036} λ = 1.96733036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994786540915405))-π/2
    2×atan(2.70414705491318)-π/2
    2×1.21659024786288-π/2
    2.43318049572577-1.57079632675     		φ = 0.86238417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96733036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.719727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86238417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.410973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106576 KachelY 44784 1.96733036 0.86238417 112.719727 49.410973
    Oben rechts KachelX + 1 106577 KachelY 44784 1.96737830 0.86238417 112.722473 49.410973
    Unten links KachelX 106576 KachelY + 1 44785 1.96733036 0.86235298 112.719727 49.409186
    Unten rechts KachelX + 1 106577 KachelY + 1 44785 1.96737830 0.86235298 112.722473 49.409186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86238417-0.86235298) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dl = 198.711489999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86238417-0.86235298) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dr = 198.711489999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96733036-1.96737830) × cos(0.86238417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650628790059247 × 6371000     		do = 198.71877966902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96733036-1.96737830) × cos(0.86235298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650652475301809 × 6371000     		du = 198.726013751757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86238417)-sin(0.86235298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650628790059247-0.650652475301809)×R²
    abs(1.96737830-1.96733036)×2.36852425621326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36852425621326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36852425621326e-05×40589641000000     		ar = 39488.4235498354m²