Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106567 / 44866
↖ ↑ ↗
← N 49.264220°
E112.695007°		 ← 199.31 m → N 49.264220°
E112.697754°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
N 49.262428°
E112.695007°		 ← 199.32 m →
39 721 m²		 N 49.262428°
E112.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813045501708984 y=0.342304229736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813045501708984 × 217)
    floor (0.813045501708984 × 131072)
    floor (106567.5)     		tx = 106567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342304229736328 × 217)
    floor (0.342304229736328 × 131072)
    floor (44866.5)     		ty = 44866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106567 / 44866 ti = "17/106567/44866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106567/44866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106567 ÷ 217
    106567 ÷ 131072     		x = 0.813041687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44866 ÷ 217
    44866 ÷ 131072     		y = 0.342300415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813041687011719 × 2 - 1) × π
    0.626083374023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.96689893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342300415039062 × 2 - 1) × π
    0.315399169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.990855715146561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96689893} λ = 1.96689893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.990855715146561))-π/2
    2×atan(2.6935383880574)-π/2
    2×1.21530958457848-π/2
    2.43061916915696-1.57079632675     		φ = 0.85982284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96689893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.695007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85982284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.264220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106567 KachelY 44866 1.96689893 0.85982284 112.695007 49.264220
    Oben rechts KachelX + 1 106568 KachelY 44866 1.96694687 0.85982284 112.697754 49.264220
    Unten links KachelX 106567 KachelY + 1 44867 1.96689893 0.85979156 112.695007 49.262428
    Unten rechts KachelX + 1 106568 KachelY + 1 44867 1.96694687 0.85979156 112.697754 49.262428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85982284-0.85979156) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dl = 199.284879999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85982284-0.85979156) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dr = 199.284879999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96689893-1.96694687) × cos(0.85982284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6525717173132 × 6371000     		do = 199.312199663324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96689893-1.96694687) × cos(0.85979156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652595418693416 × 6371000     		du = 199.319438674916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85982284)-sin(0.85979156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6525717173132-0.652595418693416)×R²
    abs(1.96694687-1.96689893)×2.37013802164565e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37013802164565e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37013802164565e-05×40589641000000     		ar = 39720.6291083935m²