Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106566 / 44865
↖ ↑ ↗
← N 49.266012°
E112.692261°		 ← 199.30 m → N 49.266012°
E112.695007°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
N 49.264220°
E112.692261°		 ← 199.31 m →
39 719 m²		 N 49.264220°
E112.695007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813037872314453 y=0.342296600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813037872314453 × 217)
    floor (0.813037872314453 × 131072)
    floor (106566.5)     		tx = 106566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342296600341797 × 217)
    floor (0.342296600341797 × 131072)
    floor (44865.5)     		ty = 44865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106566 / 44865 ti = "17/106566/44865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106566/44865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106566 ÷ 217
    106566 ÷ 131072     		x = 0.813034057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44865 ÷ 217
    44865 ÷ 131072     		y = 0.342292785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813034057617188 × 2 - 1) × π
    0.626068115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.96685099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342292785644531 × 2 - 1) × π
    0.315414428710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.990903652046181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96685099} λ = 1.96685099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.990903652046181))-π/2
    2×atan(2.69366751103158)-π/2
    2×1.21532522542683-π/2
    2.43065045085365-1.57079632675     		φ = 0.85985412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96685099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.692261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85985412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.266012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106566 KachelY 44865 1.96685099 0.85985412 112.692261 49.266012
    Oben rechts KachelX + 1 106567 KachelY 44865 1.96689893 0.85985412 112.695007 49.266012
    Unten links KachelX 106566 KachelY + 1 44866 1.96685099 0.85982284 112.692261 49.264220
    Unten rechts KachelX + 1 106567 KachelY + 1 44866 1.96689893 0.85982284 112.695007 49.264220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85985412-0.85982284) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dl = 199.284880000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85985412-0.85982284) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dr = 199.284880000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96685099-1.96689893) × cos(0.85985412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652548015294482 × 6371000     		do = 199.304960456718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96685099-1.96689893) × cos(0.85982284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6525717173132 × 6371000     		du = 199.312199663324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85985412)-sin(0.85982284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652548015294482-0.6525717173132)×R²
    abs(1.96689893-1.96685099)×2.37020187175974e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37020187175974e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37020187175974e-05×40589641000000     		ar = 39719.1864635962m²