Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106565 / 44863
↖ ↑ ↗
← N 49.269596°
E112.689514°		 ← 199.29 m → N 49.269596°
E112.692261°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
N 49.267804°
E112.689514°		 ← 199.30 m →
39 716 m²		 N 49.267804°
E112.692261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813030242919922 y=0.342281341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813030242919922 × 217)
    floor (0.813030242919922 × 131072)
    floor (106565.5)     		tx = 106565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342281341552734 × 217)
    floor (0.342281341552734 × 131072)
    floor (44863.5)     		ty = 44863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106565 / 44863 ti = "17/106565/44863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106565/44863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106565 ÷ 217
    106565 ÷ 131072     		x = 0.813026428222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44863 ÷ 217
    44863 ÷ 131072     		y = 0.342277526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813026428222656 × 2 - 1) × π
    0.626052856445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.96680305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342277526855469 × 2 - 1) × π
    0.315444946289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.990999525845421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96680305} λ = 1.96680305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.990999525845421))-π/2
    2×atan(2.69392577554995)-π/2
    2×1.21535650541914-π/2
    2.43071301083827-1.57079632675     		φ = 0.85991668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96680305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.689514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85991668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.269596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106565 KachelY 44863 1.96680305 0.85991668 112.689514 49.269596
    Oben rechts KachelX + 1 106566 KachelY 44863 1.96685099 0.85991668 112.692261 49.269596
    Unten links KachelX 106565 KachelY + 1 44864 1.96680305 0.85988540 112.689514 49.267804
    Unten rechts KachelX + 1 106566 KachelY + 1 44864 1.96685099 0.85988540 112.692261 49.267804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85991668-0.85988540) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dl = 199.284879999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85991668-0.85988540) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dr = 199.284879999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96680305-1.96685099) × cos(0.85991668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652500609341636 × 6371000     		do = 199.290481458489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96680305-1.96685099) × cos(0.85988540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652524312637287 × 6371000     		du = 199.297721055104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85991668)-sin(0.85988540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652500609341636-0.652524312637287)×R²
    abs(1.96685099-1.96680305)×2.37032956504901e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37032956504901e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37032956504901e-05×40589641000000     		ar = 39716.3010569109m²