Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106560 / 52928
↖ ↑ ↗
← N 32.694866°
E112.675781°		 ← 257.03 m → N 32.694866°
E112.678528°		 →
↑
257.01 m
↓
↑
257.01 m
↓
N 32.692555°
E112.675781°		 ← 257.04 m →
66 060 m²		 N 32.692555°
E112.678528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812992095947266 y=0.403812408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812992095947266 × 217)
    floor (0.812992095947266 × 131072)
    floor (106560.5)     		tx = 106560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.403812408447266 × 217)
    floor (0.403812408447266 × 131072)
    floor (52928.5)     		ty = 52928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106560 / 52928 ti = "17/106560/52928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106560/52928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106560 ÷ 217
    106560 ÷ 131072     		x = 0.81298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52928 ÷ 217
    52928 ÷ 131072     		y = 0.40380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81298828125 × 2 - 1) × π
    0.6259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96656337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40380859375 × 2 - 1) × π
    0.1923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.604388430409668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96656337} λ = 1.96656337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.604388430409668))-π/2
    2×atan(1.83013261311285)-π/2
    2×1.07071469329628-π/2
    2.14142938659255-1.57079632675     		φ = 0.57063306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96656337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57063306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.694866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106560 KachelY 52928 1.96656337 0.57063306 112.675781 32.694866
    Oben rechts KachelX + 1 106561 KachelY 52928 1.96661131 0.57063306 112.678528 32.694866
    Unten links KachelX 106560 KachelY + 1 52929 1.96656337 0.57059272 112.675781 32.692555
    Unten rechts KachelX + 1 106561 KachelY + 1 52929 1.96661131 0.57059272 112.678528 32.692555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57063306-0.57059272) × R
    4.03399999999721e-05 × 6371000     		dl = 257.006139999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57063306-0.57059272) × R
    4.03399999999721e-05 × 6371000     		dr = 257.006139999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96656337-1.96661131) × cos(0.57063306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841559187018114 × 6371000     		do = 257.033837448637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96656337-1.96661131) × cos(0.57059272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841580976586014 × 6371000     		du = 257.040492543537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57063306)-sin(0.57059272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841559187018114-0.841580976586014)×R²
    abs(1.96661131-1.96656337)×2.1789567899666e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1789567899666e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1789567899666e-05×40589641000000     		ar = 66060.1296211691m²