Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106560 / 44861
↖ ↑ ↗
← N 49.273181°
E112.675781°		 ← 199.28 m → N 49.273181°
E112.678528°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
N 49.271389°
E112.675781°		 ← 199.28 m →
39 713 m²		 N 49.271389°
E112.678528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812992095947266 y=0.342266082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812992095947266 × 217)
    floor (0.812992095947266 × 131072)
    floor (106560.5)     		tx = 106560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342266082763672 × 217)
    floor (0.342266082763672 × 131072)
    floor (44861.5)     		ty = 44861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106560 / 44861 ti = "17/106560/44861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106560/44861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106560 ÷ 217
    106560 ÷ 131072     		x = 0.81298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44861 ÷ 217
    44861 ÷ 131072     		y = 0.342262268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81298828125 × 2 - 1) × π
    0.6259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96656337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342262268066406 × 2 - 1) × π
    0.315475463867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.991095399644661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96656337} λ = 1.96656337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991095399644661))-π/2
    2×atan(2.69418406483032)-π/2
    2×1.21538778313897-π/2
    2.43077556627794-1.57079632675     		φ = 0.85997924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96656337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85997924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.273181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106560 KachelY 44861 1.96656337 0.85997924 112.675781 49.273181
    Oben rechts KachelX + 1 106561 KachelY 44861 1.96661131 0.85997924 112.678528 49.273181
    Unten links KachelX 106560 KachelY + 1 44862 1.96656337 0.85994796 112.675781 49.271389
    Unten rechts KachelX + 1 106561 KachelY + 1 44862 1.96661131 0.85994796 112.678528 49.271389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85997924-0.85994796) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dl = 199.284880000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85997924-0.85994796) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dr = 199.284880000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96656337-1.96661131) × cos(0.85997924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652453200835063 × 6371000     		do = 199.276001680287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96656337-1.96661131) × cos(0.85994796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652476905407554 × 6371000     		du = 199.283241666882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85997924)-sin(0.85994796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652453200835063-0.652476905407554)×R²
    abs(1.96661131-1.96656337)×2.37045724906793e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37045724906793e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37045724906793e-05×40589641000000     		ar = 39713.4154948967m²