Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10656 / 15264
↖ ↑ ↗
← N 68.847665°
W121.464844°		 ← 220.43 m → N 68.847665°
W121.459350°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
N 68.845683°
W121.464844°		 ← 220.44 m →
48 592 m²		 N 68.845683°
W121.459350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162605285644531 y=0.232917785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162605285644531 × 216)
    floor (0.162605285644531 × 65536)
    floor (10656.5)     		tx = 10656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232917785644531 × 216)
    floor (0.232917785644531 × 65536)
    floor (15264.5)     		ty = 15264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10656 / 15264 ti = "16/10656/15264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10656/15264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10656 ÷ 216
    10656 ÷ 65536     		x = 0.16259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15264 ÷ 216
    15264 ÷ 65536     		y = 0.23291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16259765625 × 2 - 1) × π
    -0.6748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11996145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23291015625 × 2 - 1) × π
    0.5341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.67817498189893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11996145} λ = -2.11996145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67817498189893))-π/2
    2×atan(5.35577266442369)-π/2
    2×1.38620738217855-π/2
    2.7724147643571-1.57079632675     		φ = 1.20161844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11996145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.464844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20161844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.847665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10656 KachelY 15264 -2.11996145 1.20161844 -121.464844 68.847665
    Oben rechts KachelX + 1 10657 KachelY 15264 -2.11986557 1.20161844 -121.459350 68.847665
    Unten links KachelX 10656 KachelY + 1 15265 -2.11996145 1.20158384 -121.464844 68.845683
    Unten rechts KachelX + 1 10657 KachelY + 1 15265 -2.11986557 1.20158384 -121.459350 68.845683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20161844-1.20158384) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20161844-1.20158384) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11996145--2.11986557) × cos(1.20161844) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.360848831226474 × 6371000     		do = 220.425042610817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11996145--2.11986557) × cos(1.20158384) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.360881099811919 × 6371000     		du = 220.444753923994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20161844)-sin(1.20158384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360848831226474-0.360881099811919)×R²
    abs(-2.11986557--2.11996145)×3.22685854454163e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22685854454163e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22685854454163e-05×40589641000000     		ar = 48591.91949989m²