Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10651 / 5766
↖ ↑ ↗
← N 81.409011°
W121.492310°		 ← 91.25 m → N 81.409011°
W121.486816°		 →
↑
91.23 m
↓
↑
91.23 m
↓
N 81.408191°
W121.492310°		 ← 91.26 m →
8 325 m²		 N 81.408191°
W121.486816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162528991699219 y=0.0879898071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162528991699219 × 216)
    floor (0.162528991699219 × 65536)
    floor (10651.5)     		tx = 10651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0879898071289062 × 216)
    floor (0.0879898071289062 × 65536)
    floor (5766.5)     		ty = 5766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10651 / 5766 ti = "16/10651/5766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10651/5766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10651 ÷ 216
    10651 ÷ 65536     		x = 0.162521362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5766 ÷ 216
    5766 ÷ 65536     		y = 0.087982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162521362304688 × 2 - 1) × π
    -0.674957275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.12044082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087982177734375 × 2 - 1) × π
    0.82403564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58878432708151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12044082} λ = -2.12044082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58878432708151))-π/2
    2×atan(13.3135768066304)-π/2
    2×1.49582580716447-π/2
    2.99165161432895-1.57079632675     		φ = 1.42085529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12044082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.492310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42085529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.409011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10651 KachelY 5766 -2.12044082 1.42085529 -121.492310 81.409011
    Oben rechts KachelX + 1 10652 KachelY 5766 -2.12034494 1.42085529 -121.486816 81.409011
    Unten links KachelX 10651 KachelY + 1 5767 -2.12044082 1.42084097 -121.492310 81.408191
    Unten rechts KachelX + 1 10652 KachelY + 1 5767 -2.12034494 1.42084097 -121.486816 81.408191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42085529-1.42084097) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dl = 91.2327200000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42085529-1.42084097) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dr = 91.2327200000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12044082--2.12034494) × cos(1.42085529) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149379831101992 × 6371000     		do = 91.2488909107418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12044082--2.12034494) × cos(1.42084097) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149393990414665 × 6371000     		du = 91.2575401478441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42085529)-sin(1.42084097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149379831101992-0.149393990414665)×R²
    abs(-2.12034494--2.12044082)×1.41593126734008e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41593126734008e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41593126734008e-05×40589641000000     		ar = 8325.27906135108m²