Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10647 / 5799
↖ ↑ ↗
← N 81.381890°
W121.514282°		 ← 91.53 m → N 81.381890°
W121.508789°		 →
↑
91.49 m
↓
↑
91.49 m
↓
N 81.381067°
W121.514282°		 ← 91.53 m →
8 374 m²		 N 81.381067°
W121.508789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162467956542969 y=0.0884933471679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162467956542969 × 216)
    floor (0.162467956542969 × 65536)
    floor (10647.5)     		tx = 10647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0884933471679688 × 216)
    floor (0.0884933471679688 × 65536)
    floor (5799.5)     		ty = 5799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10647 / 5799 ti = "16/10647/5799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10647/5799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10647 ÷ 216
    10647 ÷ 65536     		x = 0.162460327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5799 ÷ 216
    5799 ÷ 65536     		y = 0.0884857177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162460327148438 × 2 - 1) × π
    -0.675079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12082431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0884857177734375 × 2 - 1) × π
    0.823028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58562049170659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12082431} λ = -2.12082431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58562049170659))-π/2
    2×atan(13.2715214046278)-π/2
    2×1.49558913056342-π/2
    2.99117826112685-1.57079632675     		φ = 1.42038193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12082431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.514282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42038193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.381890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10647 KachelY 5799 -2.12082431 1.42038193 -121.514282 81.381890
    Oben rechts KachelX + 1 10648 KachelY 5799 -2.12072844 1.42038193 -121.508789 81.381890
    Unten links KachelX 10647 KachelY + 1 5800 -2.12082431 1.42036757 -121.514282 81.381067
    Unten rechts KachelX + 1 10648 KachelY + 1 5800 -2.12072844 1.42036757 -121.508789 81.381067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42038193-1.42036757) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dl = 91.487559999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42038193-1.42036757) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dr = 91.487559999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12082431--2.12072844) × cos(1.42038193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149847863196346 × 6371000     		do = 91.5252422009592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12082431--2.12072844) × cos(1.42036757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149862061043088 × 6371000     		du = 91.5339140721097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42038193)-sin(1.42036757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149847863196346-0.149862061043088)×R²
    abs(-2.12072844--2.12082431)×1.41978467423365e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41978467423365e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41978467423365e-05×40589641000000     		ar = 8373.81777160137m²