Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106448 / 44752
↖ ↑ ↗
← N 49.468124°
E112.368164°		 ← 198.45 m → N 49.468124°
E112.370910°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
N 49.466339°
E112.368164°		 ← 198.45 m →
39 384 m²		 N 49.466339°
E112.370910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812137603759766 y=0.341434478759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812137603759766 × 217)
    floor (0.812137603759766 × 131072)
    floor (106448.5)     		tx = 106448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341434478759766 × 217)
    floor (0.341434478759766 × 131072)
    floor (44752.5)     		ty = 44752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106448 / 44752 ti = "17/106448/44752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106448/44752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106448 ÷ 217
    106448 ÷ 131072     		x = 0.8121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44752 ÷ 217
    44752 ÷ 131072     		y = 0.3414306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8121337890625 × 2 - 1) × π
    0.624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96119444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3414306640625 × 2 - 1) × π
    0.317138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.996320521703247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96119444} λ = 1.96119444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996320521703247))-π/2
    2×atan(2.7082983477306)-π/2
    2×1.21708898326819-π/2
    2.43417796653638-1.57079632675     		φ = 0.86338164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96119444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.368164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86338164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.468124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106448 KachelY 44752 1.96119444 0.86338164 112.368164 49.468124
    Oben rechts KachelX + 1 106449 KachelY 44752 1.96124237 0.86338164 112.370910 49.468124
    Unten links KachelX 106448 KachelY + 1 44753 1.96119444 0.86335049 112.368164 49.466339
    Unten rechts KachelX + 1 106449 KachelY + 1 44753 1.96124237 0.86335049 112.370910 49.466339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86338164-0.86335049) × R
    3.11499999999798e-05 × 6371000     		dl = 198.456649999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86338164-0.86335049) × R
    3.11499999999798e-05 × 6371000     		dr = 198.456649999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96119444-1.96124237) × cos(0.86338164) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.649870991856825 × 6371000     		do = 198.445925310716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96119444-1.96124237) × cos(0.86335049) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.649894666928769 × 6371000     		du = 198.453154778745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86338164)-sin(0.86335049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649870991856825-0.649894666928769)×R²
    abs(1.96124237-1.96119444)×2.3675071943674e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.3675071943674e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.3675071943674e-05×40589641000000     		ar = 39383.6309144855m²